Salut

Tu résous le système à 12 inconnues (mais tu peux en fixer 6)

Oui j'y pensais, mais n'y a-t-il pas un moyen plus simple d'y parvenir ?

J'ai quelques indications mais je n'arrive pas à les appliquer ...
Les voici :
Les colonnes de cette matrice engendrent un sous-espace vectoriel E de dimension 2 dans R3. Il faut prendre une base B de E, qui est composée de 2 vecteurs. En juxtaposant ces vecteurs, on est censé obtenir une matrice de taille 3×2. Déjà, la je suis perdue, on peut prendre aléatoirement 2 des trois vecteurs ? Par exemple ici (-6,-18,-21) et (-4,-22,16) ?

On sait ensuite que chaque colonne de la matrice est une combinaison linéaire de vecteurs. Les coefficients de cette combinaison linéaire forment un vecteur (vertical) dans R2. Encore une fois juxtaposant tous ces vecteurs, on doit obtenir une matrice de taille 2×3, qui est la deuxième matrice. Comment écrire cette combinaison linéaire ? Je ne comprends pas, il peut y en avoir plusieurs?

Ta matrice M = AB est déjà de rang 2
Donc A et B (qui ont un rang inférieur ou égal à 2) sont de rang 2
On considère les applications linéaires f et g associés à A et B
f va de R² dans R^3
rg(f) + dim(Kerf) = dim(R²) = 2
Donc dim(Kerf) = 0, A est injective.

Donc Ker(M) = Ker(B) Ce qui te donne déjà des égalités très intéressantes sur les coefficients de B

En calculant ker(M), j'obtiens le vecteur (-1/3,1,1) mais je ne vois pas à quoi cela me mène ...