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Produit et sommes de factorielles

Posté par
Bunk 08-09-14 à 16:37

Bonjour, comment démontrer que n!(1+\frac{1}{1!}+...+\frac{1}{n-2}) avec n entier naturel, est un entier pair ?

Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit et sommes de factorielles 08-09-14 à 16:40

Bonjour

La somme de la parenthèse est facile à calculer. Réduis au même dénominateur.

Posté par
Francchoixrécurrence 08-09-14 à 18:39

Supposons n!(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{(n-2)!}) pair;
\\ alors (n+1)!((1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{(n-1)!})=(n+1)(n!((1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{(n-1)!})= \\ (n+1)(n!((1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+}+\frac{1}{(n-2)!})+\frac{(n+1)!}{(n-1}!}
or (n+1)(n!((1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+}+\frac{1}{(n-2)!}) est pair et \frac{(n+1)!}{(n-1)!}) est pair (n+1)! contient un chiffre pair de plus que (n-1)! (petite récurrence!)

Posté par
Bunkre : Produit et sommes de factorielles 08-09-14 à 23:38

Parfait merci !


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