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Produit mixte dans les isométries vectorielles de R^3

Posté par
manu_du_40 07-03-21 à 12:10

Bonjour à tous,

Soit B la base canonique de \mathbb{R}^3. Soit f une rotation de \mathbb{R}^3 et M=mat_B(f)
pour déterminer les éléments caractéristiques de f rotation vectorielle de \mathbb{R}^3, on utilise la méthode suivante :
- on cherche les éléments du sous-espace propre associé à l'unique valeur propre \lambda =1 pour avoir l'axe de rotation.
- on détermine l'angle \theta à l'aide de Tr(M)=1+2cos(\theta) et sin(\theta) est du signe du produit mixte [x,f(x),u] où u est le vecteur unitaire qui dirige et oriente l'axe de rotation et x un vecteur non colinéaire à u.

Le dernier point me pose problème car dans la plupart de mes livres, le produit mixte est tout simplement le déterminant de ces trois vecteurs alors que la définition du produit mixte que j'ai est la suivante :
[u,v,w]=(u \wedge v).w.

Sur cette page , ils mettent juste en remarque que ces deux définitions sont équivalentes mais je n'arrive pas à faire le lien entre les deux.

Vous en remerciant par avance.
Manu

Posté par
carpediemre : Produit mixte dans les isométries vectorielles de R^3 07-03-21 à 12:33

salut

si (i, j, k) est "la" base canonique orthonormée pose u xi + yj + zk, v = x'i + y'j + z'k et w = x"i + y"j + z"k

puis calcule le déterminant de (u, v, w) et (u^v).w ...

Posté par
manu_du_40re : Produit mixte dans les isométries vectorielles de R^3 07-03-21 à 12:44

ok alors,
det(u,v,w)=xy'z''+x''yz'+x'y''z-x''y'z-xy''z'-x'yz''

u\wedge v=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} yz'-zy'\\ zx'-xz'\\ xy'-yx' \end{pmatrix}

Puis (u\wedge v).w=(yz'-zy')x''+(zx'-xz')y''+(xy'-yx')z''=xy'z''+x''yz'+x'y''z-x''y'z-xy''z'-x'yz''=det(u,v,w)

Effectivement ça marche, il fallait juste faire le brutus.

Merci carpediem

Posté par
GBZMre : Produit mixte dans les isométries vectorielles de R^3 07-03-21 à 13:34

Bonjour,

Une petite remarque : tu peux voir que le calcul que tu fais de (u\wedge v)\cdot w est juste le calcul du déterminant de (u,v,w) dans la base canonique par développement suivant la dernière colonne.
Ce n'est pas un hasard.

Posté par
manu_du_40re : Produit mixte dans les isométries vectorielles de R^3 07-03-21 à 14:18

Merci à vous deux,
cette définition du déterminant m'était totalement sortie de la tête.
Merci de me l'avoir rappelée.

Manu

Posté par
carpediemre : Produit mixte dans les isométries vectorielles de R^3 07-03-21 à 17:50

GBZM a dit ce que je voulais compléter par constatation du calcul effectif !!

il faut parfois se retrousser les manches et faire le "bourrin" malheureusement !!

heureusement que souvent la réflexion supplée  au calcul !!


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