Bonsoir.
1) oui
2) oui
3) u est dans Ker(f) ssi f(u) = 0, donc tu prends u = (x,y,z,t), à l'aide de la matrice de f que nous appellerons A, tu résouds AU = O, où U est la matrice colonne : . Tu trouveras u = (0,y,-y,0) = y(0,1,-1,0). Donc, Ker(f) est la droite vectorielle de direction .Donc, comme tu le dis toi-même, f n'est pas injective.
Pour im(f), tu regardes les colonnes de ta matrice qui sont les images des vecteurs de la base canonique et tu cherches leur rang : tu trouves que les colonnes : sont indépendantes. Donc, Im(f) est de dimension 3 (logique car tu sais que dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E)). Im(f) est donc un hyperplan : celui engendré par :
.
Voila, sauf erreur, le noyau et l'image de f.
Cordialement RR.

merci beaucoup pour ta réponse.
Audrey

pour la question n°4, je dois considérer:
uIm f
et v ker f
v= y(0 , 1 , -1 , 0)
je sais pas ce qu'implique uIm f
Commest je peux connaitre cette expression?

il me manque donc l'expression de u car le produit scalire ce fait directement après.
et pour la suite de la question il suffit de montrer que dim im f + dim ker f = dim E donc la somme est directe.
Est ce bien cela?
merci d'avance
Audrey

Bonjour.
4°) Tout élément de Im(f) est v = = (a,b,b,c). (Je prends 2b pour éviter les fractions
Comme tu le signales, u dans Ker(f) entraine u = (0,y,-y,0). Alors, < u,v > = yb - yb = 0.
En conclusion, on a un hyperplan (Im(f)) et la droite vectorielle orthogonale : Ker(f).
Contrairement à ce que tu penses, la condition des dimensions ne suffit pas pour affirmer la somme directe : il faut prouver que : = {0}. Or, ici chercher l'intersection revient à chercher x tel que < x,x > = 0 : c'est gagné, seul 0 convient. La somme est bien directe.
Pour la suite, nous en reparlerons si tu le veux.
Cordialement RR.

merci pour ta réponse.

pour la question 4 ,
montrons que ker f im f ={0e}
X= (x,y,z,t) F
<X,X> = 0
x*x+y*y+z*z+t*t =0
x²+y²+z²+t² = 0
x=y=z=t=0
donc X est le vecteur nul de IR^4

Pour la base je pense que j'aurai la réponse dans le cours.

pour la question 5,
soit u =(x,y,z,t) F

u-f(u) = (x,y,z,t) - (x , (y+z)/2 , (y+z)/2 , t) = (0 , (y-z)/2 , (-y+z)/2 , 0) = y (0, 1/2 , -1/2 , 0) + z (0 , -1/2 , 1/2 ,0) = vect {(0, 1/2 , -1/2 , 0) ; (0 , -1/2 , 1/2 ,0) }
or posons v =(0 , -1/2 , 1/2 ,0)
et w =(0, 1/2 , -1/2 , 0)
on constate que v = -w
donc u-f(u) = vect {(0, 1/2 , -1/2 , 0)} = vect {(0, 1 , -1 , 0)}
d'où u - f(u) ker f.
Est ce que la réadaction est juste?
merci d'avance
Audrey

Bonjour.
Un petit mot pour la base orthonormale. Puisque le noyau et l'image sont orthogonaux, on prendra comme base un vecteur du noyau : complétée par une base orthogonale de Im(f): convient (en calculant les produits scalaires de ces vecteurs, on trouve 0). Cependant, il convient ensuite de leur donner une norme 1. Par exemple : , donc il faudra prendre :
.
Pour , pas de problème, ils sont normés. Enfin, pour le dernier, .
5°) J'ai trouvé la preuve suivante :
u = (x,y,z,t) et f(u) = (x,(y+z)/2,(y+z)/2,t) donne : u - f(u) = (0,(y-z)/2,-(y-z)/2,0) = . Donc : u - f(u)Ker(f).
Pour la fin de cette question 5°), remarque que pour tout vecteur u dans E, u = f(u) + (u - f(u))
avec f(u) dans Im(f) (évident) et u - f(u) dans Ker(f), (c'est ce que tu viens de prouver).
Pour tout : u = f(u) + (u - f(u)) f(u) = f[f(u) + (u - f(u))] = f²(u) car u - f(u) étant dans le noyau, f(u - f(u)) = 0. Donc f² = f, alors ?
Cordialement RR.

merci pour ta réponse
donc f²=f
donc est un projecteur.
Est ce cela?
merci d'avance
Audrey

Bonjour.
Effectivement, f est un projecteur : c'est le projecteur sur Im(f) parallèlement à Ker(f).
Cordialement RR.

bonjour,
pour la base orthonormale, dans le cours on a vu le procédé d'orthogonalisation de Gram schmidt j'avoue que je n'arrive pas a tout faire (la méthode n'est pas très détaillée).
j'ai commencé voila ce que j'obtiens:
on sait x= vect { (1,0,0,0) ; (0,1,1,0) ; (0,0,0,1)}
j'ai posé u1= (1,0,0,0)
u2= (0,1,1,0)
u3= (0,0,0,1)
methode de Gram shmidt

posons v1 = u1 = (1,0,0,0)

determinons v2 = u2 + v1 = (0,1,1,0) + (1,0,0,0)
= ( , 1 , 1 , 0)
<v2,v1> = 0
(,0,0,0) = 0
d'où = 0
donc v2 = (0,1,1,0)

déterminons v3 = u3 + v2 + v1 = ( , , , 1)

<v3,v1> = 0
= 0

<v3,v2> = 0
2 = 0
= 0

d'où v3 = (0 , 0, 0 , 0)

or norme (v1) = 1
norme (v2) = (2)
norme (v3) =  0

la base orthonormale est composée des vecteurs :
w1 = (1 , 0 , 0 , 0)
w2 = (0, 1/(2) , 1/(2) , 0)
w3 = (0 , 0 , 0 , 0)
Est ce bien cela?
Merci d'avance.
Audrey

pour la question n°6 , je ne sais pas coment commencer, si quelqu'un peut me donner une piste. merci d'avance
Audrey

Bonsoir.
Le procédé de Schmidt est tout à fait cohérent. Malheureusement, il mène à des calculs qui, ici, ne sont pas indispensables.
Comme nous l'avons vu au début Ker(f) et Im(f) sont orthogonaux. Il suffit donc de trouver une base de l'image orthogonale. Or, les trois vecteurs de base de Im(f) : (1,0,0,0), (0,1/2,1/2,0) et (0,0,0,1) sont orthogonaux. Donc, comme je te le disais dans mon dernier post, il suffit de normer ces quatre vecteurs. Une base orthonormale de E est donc :
. J'ai cherché ensuite les coordonnées de u(1,-1,1,2) sur cette base, et, sauf erreur de calcul, j'ai obtenu : . Or, si l'on projette orthogonalement sur Im(f), on a donc : .
Cordialement RR.

bonjour,
merci beaucoup pour ton aide.
Audrey