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Posté par
heklare : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:05

Montrons que les droites sont perpendiculaires. Pour ce faire, montrons que le produit scalaire \vec{DN}\cdot \vec{AM}=0 \\
En utilisant la relation de Chasles décomposons les vecteurs

\vec{DN}\cdot \vec{AM}=(\vec{DA}+\vec{AN}) \cdot (\vec{AB}+\vec{BM})

DA.AB= nul---- perpendiculaires
AN.BM=nul---- perpendiculaires
que \vec{AB} \cdot \vec{AC}= c^2

Les droites (DA) et (AN) sont perpendiculaires donc \vec{DA}\cdot\vec{AN}=0

Les droites (AB) et (BM) sont perpendiculaires donc \vec{AB}\cdot\vec{BN}=0

Par conséquent \vec{DN}\cdot \vec{AM}= \vec{DA}\cdot.\vec{BM}+\vec{AN}\cdot\vec{AB}

\vec{DA}\cdot.\vec{BM}=\| \vec{DA}\|\times \|\vec{BM}\| \cos (\vec{DA};\vec{ BM})= c\times \dfrac{3}{2} c\times (-1)=-\dfrac{3}{2}c^2 \\ \\
en appelant c le côté du carré, les vecteurs sont colinéaires, car les droites sont parallèles, mais de sens contraire donc le cosinus vaut -1  

\\ \vec{AN}\cdot\vec{AB}=\| \vec{AN}\|\times \|\vec{AB}\| \cos (\vec{AN};\vec{ AB})= c\times \dfrac{3}{2} c \\
les vecteurs sont colinéaires de même sens.

\vec{DA}\cdot \vec{BM}+\vec{AN}\cdot\vec{AB}=-\dfrac{3}{2} c^2+\dfrac{3}{2}c^2=0

On a donc montré que \vec{DN}\cdot \vec{AM}=0   donc que les droites  (DN) et (AM) étaient perpendiculaires.

Question 2  On se place dans le repère (A ; B ; D)

Par conséquent :

A(0 ; 0) B(1,0) D (0 ; 1)

\vec{AN}=\vec{AB}+\vec{BN}= \dfrac{3}{2}\vec{AB} $ d'où  $N(3/2, 0)

\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CM}=\vec{AB}+\dfrac{3}{2}\vec{BC}=\vec{AB}+\dfrac{3}{2}\vec{AD} d'où M(1, 3/2)

Calculons les coordonnées du produit des vecteurs :

\vec{ DN}\quad \dbinom{(1.5-0)}{0-1}  =\dbinom{ 1.5}{-1}

\vec{AM }\quad \dbinom{(1-0)}{1,5-0}  =\dbinom{ 1}{1,5}
                      
Écrivons l'expression du produit scalaire

\vec{DN}\cdot \vec{AM}=1.5\times 1+(-1)\times 1,5  = 1,5-1,5 = 0


Cette expression vaut 0 par conséquent les vecteurs sont orthogonaux et les droites (DN) et (AM) sont perpendiculaires.

Posté par
heklare : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:07

Il faudrait développer le produit scalaire  

à placer avant les phrases rayées elles ont été écrites ensuite

Posté par
heklare : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:10

lire \vec{AB}\cdot \vec{BM}  au lieu de BN

Posté par
liloudu94226re : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:11

j'écrisceci à la place de ce que vous avez rayé
(DA+AN).(AB+BM)= DA.AB+DA.BM+AN.AB+AN.BM

ensuite c'est bon ?

Posté par
heklare : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:14

Oui

Il fallait bien développer le produit scalaire pour justifier la suite.

Posté par
liloudu94226re : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:18

mais monsieur ce que je ne comprendds pas c'est que on puet justifier comme cela
Les droites (DA) et (AN) sont perpendiculaires donc \vec{DA}\cdot\vec{AN}=0

Les droites (AB) et (BM) sont perpendiculaires donc \vec{AB}\cdot\vec{BN}=0

mais avant il ne faut pas dire
DA.AB= nul---- perpendiculaires
AN.BM=nul---- perpendiculaires

Posté par
heklare : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:22

C'est parce que les droites sont perpendiculaires, côtés adjacents du carré, que l'on peut affirmer que le produit scalaire est nul.

Posté par
liloudu94226re : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:26

d'accord ok compris, je vous remercie infiniment Monsieur passer une très bonne fin de soirée

Posté par
heklare : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:29

De rien
Bonne fin de soirée

Posté par
liloudu94226re : produit scalaire 2 03-03-22 à 22:55

Merci bien

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