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Niveau maths sup
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Produit scalaire

Posté par Yaya13 (invité) 19-04-05 à 18:24

Bonjour,
J'ai un exercice à faire abordant les projections orthogonales.

Je sais qu'il me faut utiliser la propriété suivante (mais je ne vois pas vraiment comment m'y prendre):
soit E un espace euclidien de dimension n.
Soit F un sev de E et (e1...ep) une base orthonormée de F
Soit p la projection orthogonale sur F.
donc x E p(x) = \sum_{i=1}^{p} (x|e_i)e_i

Pourriez vous me donner quelques indications? Je vous remercie d'avance.

soit \vec{u} (1;2;1)    \vec{v} (2;3;-8)
\vec{u'} = \frac{1}{||u||} \vec{u}
\vec{v'} = \frac{1}{||v||} \vec{v}
soit F = Vect (\vec{u'},\vec{v'})
Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur F.

on peut peut être écrire ... soit x E p(x) = (x|\vec{u'})\vec{u'}+(x|\vec{v'})\vec{v'}...

Posté par N_comme_Nul (invité)re 19-04-05 à 18:55

Bonsoir !

Pourquoi ne pas prendre pour x les vecteurs de la base canonique ?

_____________________
Je suis nul en maths.

Posté par Yaya13 (invité)re : Produit scalaire 19-04-05 à 20:21

Merci pour ton indication
Mais si vous pouviez m'expliquer comment il faut procéder pour atteindre la matrice ce serait vraiment gentil. Merci d'avance.

Posté par aicko (invité)ligne directrice... 19-04-05 à 20:59

p est une aplication lineaire puisque projection orthogonale d'un ev sur un autre ev
or une application lineaire est entierement definie par l'image de sa base
soit x appartenant à E
p(x)=p(x1e1+x2e2+....+xnen)=x1p(e1)+x2p(e2)+....+xnp(en)

dc il suffit de connaitre p(e1) p(e2)...p(ep) pour definir entierement p

F=vect(u',v') espace engendré par u' et v' donc dim F=2
'u',v') est libre dc c'est une base(dim finie) a montrer....
soit P la projection orthogonale sur F son expression est dc
pour tout x de E
p(x)=(x,u')u'+(x,v')v'
avec x=x1e1+x2e2+x3e3   dimE=3 car les coordonnées de u' ont trois valeurs donc p est une projection sur un hyperplan ici un plan de l'espace
alors p(ei)=(ei,u')u'+(ei,v')v'

a montre :
p(e1)=(racine6/6)u'+(2racine77/77)v'
p(e2)=(racine6/3)u'+(3racine77/77)v'
p(e3)=(racine6/6)u'+(-8racine77/77)v')

ensuite u'=(racine6/6)(e1+2e2+e3) et v'= (racine77/77)( 2e1+3e2-8e3)
donc
p(e1) = (1/6)(e1+2e2+e3)+(2/77)(2e1+3e2-8e3)
p(e2)=(1/3)(e1+2e2+e3)+(3/77)(2e1+3e2-8e3)
p(e3)=(1/6)(e1+2e2+e3)+(-8/77)(2e1+3e2-8e3)
tu obtiens comme matrice ds la base canonique (e1,e2,e3)

(101/462  95/231     -19/462
(95/231   172/231    5/231
(-19/462  5/231      461/462

ouf..................
moyen de verification
p(u')=u' et p(v')=v'



Posté par aicko (invité)re : Produit scalaire 19-04-05 à 21:00

tu ne t'es pas trompé ds les coordonnées de v??? elles compliquent les resulats....

Posté par Yaya13 (invité)re : Produit scalaire 19-04-05 à 21:48

bonsoir aicko,

Merci beaucoup pour votre réponse. En effet les valeurs compliquent énormément les calculs mais ce sont bien les valeurs de mon énoncé.
J'ai seulement quelques difficultées à comprendre comment vous passez de p(x) = (x|u')u'+(x|v')v' à p(ei) = (ei|u')u'+(ei|v')v'

Posté par
otto
re : Produit scalaire 19-04-05 à 22:29

Probablement que x se décompose suivant les ei, et que donc connaître les valeurs des P(ei) suffisent à déterminer p(x) pour tout x, de par la linéarité de P???

Posté par aicko (invité)me revoilà 20-04-05 à 16:21

en fait cette egalité est vraie pour tout x element de E
dc etant donné ei appartient a E pour tout i de {1;2;3}
alors il suffit d'appliquer l'egalité pour x=ei

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
produit scalaire 21-04-05 à 06:07

Données: (1,2,1) (2,3,-8)
ona:.=2+6-8=0
(',') est donc bien une base orthonormale de F .
Tu es sur le bon chemin:
tu n'a qu'à noter: (,,) la base canonique de E puis écrire:
p()= (.')'+(.')'
et pour simplifier les calculs tu écris:
p()=(.)/(.)+(.)/(.)
comme: (.)=6 , (.)=77 ,
. = l'abscisse de c'est à dire 1 et . = celle de c'est à dire 2
tu as:p()=/6+2/77
c'est à dire: p()=(1/6+4/77)+(1/3+6/77)+(1/6-16/77)
la première colonne de la matrice cherchée est donc: (101/462,95/231,-19/462) (sauf erreur de calcul)
en calculant d'une manière analogue les vecteurs p() et p() tu trouves les deux autres colonnes
CQFD



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