Bonsoir !

Pourquoi ne pas prendre pour les vecteurs de la base canonique ?

_____________________
Je suis nul en maths.

Merci pour ton indication
Mais si vous pouviez m'expliquer comment il faut procéder pour atteindre la matrice ce serait vraiment gentil. Merci d'avance.

p est une aplication lineaire puisque projection orthogonale d'un ev sur un autre ev
or une application lineaire est entierement definie par l'image de sa base
soit x appartenant à E
p(x)=p(x1e1+x2e2+....+xnen)=x1p(e1)+x2p(e2)+....+xnp(en)

dc il suffit de connaitre p(e1) p(e2)...p(ep) pour definir entierement p

F=vect(u',v') espace engendré par u' et v' donc dim F=2
'u',v') est libre dc c'est une base(dim finie) a montrer....
soit P la projection orthogonale sur F son expression est dc
pour tout x de E
p(x)=(x,u')u'+(x,v')v'
avec x=x1e1+x2e2+x3e3   dimE=3 car les coordonnées de u' ont trois valeurs donc p est une projection sur un hyperplan ici un plan de l'espace
alors p(ei)=(ei,u')u'+(ei,v')v'

a montre :
p(e1)=(racine6/6)u'+(2racine77/77)v'
p(e2)=(racine6/3)u'+(3racine77/77)v'
p(e3)=(racine6/6)u'+(-8racine77/77)v')

ensuite u'=(racine6/6)(e1+2e2+e3) et v'= (racine77/77)( 2e1+3e2-8e3)
donc
p(e1) = (1/6)(e1+2e2+e3)+(2/77)(2e1+3e2-8e3)
p(e2)=(1/3)(e1+2e2+e3)+(3/77)(2e1+3e2-8e3)
p(e3)=(1/6)(e1+2e2+e3)+(-8/77)(2e1+3e2-8e3)
tu obtiens comme matrice ds la base canonique (e1,e2,e3)

(101/462  95/231     -19/462
(95/231   172/231    5/231
(-19/462  5/231      461/462

ouf..................
moyen de verification
p(u')=u' et p(v')=v'

tu ne t'es pas trompé ds les coordonnées de v??? elles compliquent les resulats....

bonsoir aicko,

Merci beaucoup pour votre réponse. En effet les valeurs compliquent énormément les calculs mais ce sont bien les valeurs de mon énoncé.
J'ai seulement quelques difficultées à comprendre comment vous passez de p(x) = (x|u')u'+(x|v')v' à p(ei) = (ei|u')u'+(ei|v')v'

Probablement que x se décompose suivant les ei, et que donc connaître les valeurs des P(ei) suffisent à déterminer p(x) pour tout x, de par la linéarité de P???

en fait cette egalité est vraie pour tout x element de E
dc etant donné ei appartient a E pour tout i de {1;2;3}
alors il suffit d'appliquer l'egalité pour x=ei

Données: (1,2,1) (2,3,-8)
ona:.=2+6-8=0
(',') est donc bien une base orthonormale de F .
Tu es sur le bon chemin:
tu n'a qu'à noter: (,,) la base canonique de E puis écrire:
p()= (.')'+(.')'
et pour simplifier les calculs tu écris:
p()=(.)/(.)+(.)/(.)
comme: (.)=6 , (.)=77 ,
. = l'abscisse de c'est à dire 1 et . = celle de c'est à dire 2
tu as:p()=/6+2/77
c'est à dire: p()=(1/6+4/77)+(1/3+6/77)+(1/6-16/77)
la première colonne de la matrice cherchée est donc: (101/462,95/231,-19/462) (sauf erreur de calcul)
en calculant d'une manière analogue les vecteurs p() et p() tu trouves les deux autres colonnes
CQFD