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Produit scalaire

Posté par
Alexll7 05-11-14 à 16:51

Bonjour j'ai un problème concernant la définition d'un produit scalaire. En effet un produit scalaire est une application bilinéaire symétrique définie-positive, mais en partant de cela existe t-il par exemple plusieurs produits scalaires différents dans le plan R2 ou dans l'espace R3. Ce que je veux dire ce n'est pas s'il existe plusieurs façon d'exprimer le produit scalaire dans R2 par ex mais bien s'il en existe plusieurs différentes donnant des résultats différents. Si ce n'est pas le cas n'est il pas étrange qu'il existe qu'une seule application prenant en compte ses 3 seules conditions ?

Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
carpediemre : Produit scalaire 05-11-14 à 17:07

salut

(x, y).(x',y') = xx' + yy' et (x, y).(x', y') = 2xx' + 3yy' sont deux produits scalaires .....

et donc plus généralement (x, y)(x', y') = axx' + byy'   avec a > 0 et b > 0

...

Posté par
Alexll7re : Produit scalaire 05-11-14 à 17:23

D'accord merci mais dans ce cas la propriété énonçant que et sont orthogonaux si et seulement si le produit scalaire est nul ne marche plus. Car par exemple les vecteurs (1,3) et (-6,2) sont orthogonaux et en effet avec la définition du produit scalaire comme étant xx'+yy' on trouve bien -6*1+3*2=0 mais avec ta définition par exemple on trouve 2*(-6)*1+3*3*2=60.
D'où provient donc cela s'il te plait ?
Merci d'avance !

Posté par
carpediemre : Produit scalaire 05-11-14 à 17:48

avec le deuxième produit scalaire il y a aussi des vecteurs orthogonaux (pour ce produit scalaire bien sur)

ainsi si u.v = 2xx' + 3yy'

alors (1, 2) et (-3, 1) sont orthogonaux ....

Posté par
Alexll7re : Produit scalaire 05-11-14 à 17:57

Mais je ne comprend pas, dans R3 par exemple, soit 2 vecteurs sont orthogonaux soit ils ne le sont pas (par la définition "géométrique" du terme) ils ne peuvent pas être orthogonaux pour un produit scalaire et pas pour un autre ? Par exemple si je trace tes 2 vecteurs dans le plan, ils ne sont pas orthogonaux... Ainsi cela remet en cause toute la définition d'orthogonalité qu'on a vu jusqu'alors ? Où cela veut juste dire qu'on a toujours défini l'orthogonalité en fonction du produit scalaire qu'on pourrait appelé unitaire ?

Merci pour tes réponses (qui pour l'instant je dois t'avouer me perde un peu... )

Posté par
ThierryPomare : Produit scalaire 05-11-14 à 18:05

Bonsoir,

Posons

\langle(x,\,y),\,(x',\,y')\rangle=a\,x\,x'+b\,y\,y'

où a, b\in\R^{*+}, ainsi que

\langle(x,\,y),\,(x',\,y')\rangle_u=x\,x'+y\,y'

pour le produit scalaire usuel. Alors, clairement,

\langle(x,\,y),\,(x',\,y')\rangle=((\sqrt{a})\,x)\,((\sqrt{a})\,x')+((\sqrt{b})\,y)\,((\sqrt{b})\,y')=\langle((\sqrt{a})\,x,\,(\sqrt{b})\,y),\,((\sqrt{a})\,x',\,(\sqrt{b})\,y')\rangle_u

Thierry

Posté par
carpediemre : Produit scalaire 05-11-14 à 18:10

l'orthogonalité "géométrique" n'est pas l'orthogonalité "vectorielle" (par rapport à un produit scalaire) sauf avec le ps usuel ...

tu peux remarquer que la longueur du vecteur (1, 1) avec le ps usuel est \sqrt 2 et avec l'autre est \sqrt {a^2 + b^2}

...

Posté par
Alexll7re : Produit scalaire 05-11-14 à 18:25

D'accord merci carpediem, mais dans ce cas à quoi sert l'orthogonalité vectorielle ?
Sinon ThierryPoma je suis désolé mais j'ai compris votre calcul mais je ne vois pas où vous voulez en venir ?
Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
ThierryPomare : Produit scalaire 05-11-14 à 18:25

Attention Carpi, il me semble que tu as fait une petite erreur... (Si les notations sont celles du 05-11-14 à 17:07 !)

Titi

Posté par
Alexll7re : Produit scalaire 05-11-14 à 18:52


D'accord merci carpediem, mais dans ce cas à quoi sert l'orthogonalité vectorielle ?
Sinon ThierryPoma je suis désolé mais j'ai compris votre calcul mais je ne vois pas où vous voulez en venir ?
Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
carpediemre : Produit scalaire 05-11-14 à 20:03

oui c'est effectivement \sqrt {a + b}

le ps usuel correspond à la géométrie euclidienne naturelle avec l'orthogonalité naturelle

comme l'a écrit ThierryPoma tout ps s'écrit axx' + byy' avec a > 0 et b > 0 et ils ont un intérêt dans "certaines géométries" .... voir des exemples en physique très probablement ....

Posté par
carpediemre : Produit scalaire 05-11-14 à 20:04

ce que TP montre c'est que l'on fait simplement une dilatation des vecteurs de base ....

Posté par
Alexll7re : Produit scalaire 06-11-14 à 18:03

D'accord merci beaucoup à vous deux

Posté par
carpediemre : Produit scalaire 06-11-14 à 18:48

de rien


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