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Produit scalaire

Posté par
BebeTigre
28-04-18 à 18:04

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice portant sur les produit scalaire.

Énonce: ABC est un triangle équilatéral de côté a. E, F et G sont 3 points mobiles respectivement situés sur [AB], [AC] et [BC] tels que AE = CF = BG = x

1. Exprimer CF.CG en fonction de a et de x (x>0)
2. Calculer FG le côté du triangle équilatéral EFG
3.A. Montrer que FG.FC = 3/2x^2 - 1/2a fois x
B. Exprimer x en fonction de a pour que le triangle CGF soit rectangle en F
C. Exprimer x en fonction de a pour que FG.FC soit minimum.

Je n'arrive pas à commencer cet exercice.
Merci

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 18:07

Bonjour,
Commence par faire une figure

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 18:11

PLSVU @ 28-04-2018 à 18:07

Bonjour,
Commence par faire une figure


C'est fait

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 18:33

. Exprimer \vec{CF}.\vec{CG} en fonction de a et de x (x>0)
commence par   exprimer CG en fonction de a et de x
ensuite  tu appliques la formule du cours
.=||||.|||| cos( ;)

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 18:46

Je trouve CE.CG = 1/2 xa - x^2

c'est correct?

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 19:23

avec des parenthèses  et en vecteurs
CE.CG = (1/2) xa - x^2
2) calcul de FG  
rappel formule  
AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BCcos(ABC)

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 20:15

Je trouve FG = x + a - sqrt3ax

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:09

montre  FG2  ,  ton FG est faux x

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:13

Rectification, je trouve FG = x sqrt 3 + a - sqrt 3ax

FG^2 = 3x^2 + a^2 - 3al

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:21

FG^2=3x^2-3ax+a^2 OK

attention  A^2=B^2+C^2  (A≥0)

A=\red{\sqrt{B^2+C^2}}
 \\

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:26

J'ai donc le bon résultat pour FG^2 soit 3x^2 - 3ax + a^2

FG = sqrt( 3x^2 - 3ax + a^2)
= (x sqrt 3) + a - (sqrt 3al)
Non?

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:29

A2=25+16  et   A≥0
que vaut A ?

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:30

9

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:32

Ou racine de 41?
Je ne sais plus

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:35

OUI
et non 5+4=9 ==>9^2=81≠41
FG^2=3x^2-3ax+a^2
    FG=...........

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:44

ET = 3x2 - 3ax + a2

Mais je suis désolé je n'arrive pas à simplifier ensuite..

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:47

FG et non ET désolé

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:50

avec des parenthèses
FG=(3x^2-3ax+a^2)
3 ) tu connais les mesures des 3 cotés du triangle EFG .
tu peux en déduire  \vec{FG}.\vec{FC}

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:51

FG = 3l2 - 3al + a2 ?

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:52

Ha oui bien sûr les parenthèses
Je vais calculer ça alors merci

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 21:54

NON
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+\red{2ab+2ac+2bc}

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:05

Pour la formule de FG je laisse alors
(3x2-3ax + a2) ?
Ou je dois développer?

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:09

     C'est l'expression de la longueur FG . rien à modifier
passe à la question suivante
3A)
\vec{FG}*\vec{FC}

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:16

En utilisant la formule :
FG.FC (scalaire) = FG * FC * cos F
Soit = (3x2 - 3ax + a2) * x * 1/2

C'est bien ça?

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:23

tu ne connais pas la valeur de l'angle F, il dépend de x...
il faut trouver une expression  qui te permet d'obtenir " FG*FC cos (FG.FC}) "  

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:29

L'angle F n est pas égale à 60°? Puisque EFG est un triangle équilatéral Non?

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:30

Ha non pardon on est dans l'autre triangle, je me suis trompé de triangle désolé

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:31

Je suis désolé je ne vois pas comment on peut faire

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:34

relis
AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BCcos(ABC)
et tu connais les longueurs des 3 côtés du  triangle  FGC

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:41

Dans votre formule, AC*BC sont bien des vecteurs?

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:44

AB*BC   ne sont pas des vecteurs

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:44

Car moi, selon ma fprmule de cours je trouve :
GC 2 = GF2 + FC2 - 2FG.FC

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:48

Soit
2FG.FC = GG2 + FC2 - GC2
Soit
(3ax2 - 3ax + a2) + x2 - (a-x)2

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:48

AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BCcos(ABC)  
et  toi
GC 2 = GF2 + FC2 - 2FG.FC
où il faut lire \vec{FG}.\vec{FC}

non ?

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:50

Jai reussi la question 3.a.
Je passe à la B

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:52

Oui c'est bien ça que j'ai, et j'applique ce qu'on a fait plusieurs fois en cours et j'arrive à démontrer ce qu'il faut pour la question 3.A.
Merci bien

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 22:53

3B) que vaut le produit scalaire  \vec{FG}.\vec{FC} dans ce cas  ?

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:01

Il vaut 0, donc il faut que:
3/2 x2 - 1/2 ax = 0

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:01

OUI

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:04

Je trouve par tatonnement que x = 2 et a = 3

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:06

\dfrac{1}{2}(3x^2-ax)=0

reviens à résoudre 3x^2-ax=0
mets x en facteur

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:11

x(3x-a)=0

Soit x =0


Soit (3x-a)=0

Pour résoudre cela je ne sais pas comment faire

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:13

poursuis , tu dois obtenir  x est en fonction de a

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:14

autre remarque
dans l'énoncé on peut lire x>0  

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:18

Oui exact
Je n'ai pas appris à résoudre les équations à 2 inconnus, mais je dirais que x = 1/3a?

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:22

a est un paramétre :c'est la longueur d'un côté
OK pour x=(1/3)a

3C  
   P(x)=(3x^2-ax)/2    est minimal si ..............

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:26

C'est la que je ne comprends pas.
On demande : Exprimer x en fonction de a pour que FG.FC (scalaire) soit minimum.

On cherche donc pour que FG.FC = 0?
Soit minimum c'est à dire lorsque on a un angle droit en F?

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:30

un produit scalaire peut-être négatif ...
  j'ai noté P  la fonction qui   à  x associe le produit scalaire  \vec{FG}.\vec{FC}
P(x)=\dfrac{3x^2-ax}{2}
   comment  détermines -tu  la valeur de x  pour laquelle cette fonction admet un  minimun ?

Posté par
PLSVU
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:31

n produit scalaire peut-être négatif ...
  j'ai noté P  la fonction qui   à  x associe le produit scalaire  \vec{FG}.\vec{FC}
P(x)=\dfrac{3x^2-ax}{2}
   comment  détermines -tu  la valeur de x  pour laquelle cette fonction admet un  minimun ?

Posté par
BebeTigre
re : Produit scalaire 28-04-18 à 23:36

Avec un tableau de variations?

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