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Produit scalaire

Posté par
SalmaEl30 13-06-18 à 13:41

Bonjour,

si l'on défini une application \varphi


R^{n}*R^{n}\rightarrow R
(u,v)\rightarrow tX*A*Y

tel que X et Y sont les matrices représentant u et v dans la base canonique, et A une matrice symétrique définie positivement

Pour que cette application soit un produit scalaire , il faut que pour toute matrice colonne X
\varphi (X,X)=0\Rightarrow X=0

Quelqu'un pourrait m'éclaircir ce point? Pourquoi la matrice sera forcément nul?

Merci d'avance

Posté par
verdurinre : Produit scalaire 13-06-18 à 15:04

Bonjour,
quelle définition as-tu de « matrice symétrique définie positive » ?

parce qu'une des définitions possible est que A est symétrique et que \forall x\in \R^n\quad x\neq0\Rightarrow \varphi (x,x)>0

Posté par
SalmaEl30re : Produit scalaire 13-06-18 à 15:22

verdurin @ 13-06-2018 à 15:04

Bonjour,
quelle définition as-tu de « matrice symétrique définie positive » ?

parce qu'une des définitions possible est que A est symétrique et que \forall x\in \R^n\quad x\neq0\Rightarrow \varphi (x,x)>0


Pour toute matrice colonne X : tX*A*X\geq 0 est la définition que je connais

Posté par
verdurinre : Produit scalaire 13-06-18 à 16:11

C'est une matrice positive.
Le mot « définie » dans ce contexte signifie  {}^tX*A*X= 0\Rightarrow X=0.

On demande cette propriété pour pouvoir définir une norme à partir du produit scalaire. Or \lVert x\rVert=0\Rightarrow x=0.

Posté par
SalmaEl30re : Produit scalaire 13-06-18 à 16:36

verdurin @ 13-06-2018 à 16:11

C'est une matrice positive.
Le mot « définie » dans ce contexte signifie  {}^tX*A*X= 0\Rightarrow X=0.

On demande cette propriété pour pouvoir définir une norme à partir du produit scalaire. Or \lVert x\rVert=0\Rightarrow x=0.


D'accord, merci!

Posté par
verdurinre : Produit scalaire 13-06-18 à 17:32

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