salut

il n'y a rien à démontrer puisque cela fait partie de la définition d'une forme bilinéaire

i.e une application linéaire f bilinéaire d'un R-espace vectoriel sur R

f(u,v+w) = f(u+v) +f(u+w)

Justement on ne sait pas que le produit scalaire est une forme bilinéaire.

Bonsoir,

Co11  il veut démontrer qu'un produit scalaire est une forme bilinéaire

bah justement on ne peut pas le prouver

le produit scalaire hermitien est une forme sesquilinéaire (pas du tout bilinéaire)

et on ne sait rien de son K-espace vectoriel

soit il pose son EV et sa forme bilinéaire et du coup d'emblée f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)

ou sinon il pose un truc qui est sensé être une forme bilinéaire et il doit prouver

que son truc va donner (entre autre)  va donner f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)

Tout de même, je ne suis pas certaine que ce cas soit très intéressant, puisqu'on est ramené immédiatement au cas "vecteurs coplanaires"

Il s'agit de l'ensemble des vecteurs de l'espace qui est un espace vectoriel sur de dimension 3.

Ce qui est étrange c'est que le deuxième cas se ramène au premier.
Dans le cas 2, ne sont pas coplanaires, puisque le cas 1 traite de cette propriété.

ok nommons  E cet espace vectoriel

et  votre produit scalaire est défini par



on préfère écrire le produit scalaire par

cela permet d'éviter de confondre le point de la loi externe à gauche où ici et qui se nomme produit par un scalaire avec le produit scalaire

à partir de là vous pouvez démontrer que la forme est bilinéaire

écrivez quelles sont les conditions d'une forme bilinéaire et utilisez le produit scalaire défini ci-dessus pour démontrer qu'il s'agit bien d'une forme bilinéaire

Hello vraiment bizarre comme demo...

Si le produit scalaire dans le plan est déjà connu  tu as une expression du produit scalaire de u et v :

u.v = 1/2 (||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2)

Si tu poses u = (u1,u2,u3) et v = (v1,v2,v3) et si tu developpes tu as directement u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Et là tu vois que u.(v+w) = uv + uw


Sans prendre en compte tous ces cas bizarres

Le produit scalaire est défini ainsi :
si ou est nul,
où est l'angle orienté formé par les deux vecteurs

Bonjour,

sgu35 @ 13-06-2020 à 20:01


Deuxième cas :
orthogonal à et orthogonal à . Si et sont colinéaires, on est ramené au premier cas.

Ma question est : pourquoi est-on ramené au premier cas?

[URL=https://www.casimages.com/i/200614061459866362.png.html][/URL]

je quitte ce sujet aussi

j'ai visiblement rien compris à l'énoncé (j'ai même pas l'excuse du soir car on est le matin)

salut

je ne vois pas trop le lien entre la bilinéarité d'un produit scalaire et la propriété générale qu'un produit scalaire est distributif par rapport à l'addition ... même si c'est une conséquence directe du fait qu'un produit scalaire est bilinéaire ... (mais qu'on ne le sait pas (voir à 20h09)

sgu35 @ 13-06-2020 à 20:01

Proposition :  si sont trois vecteurs alors :  

Démonstration :
si , le résultat est clair. On suppose donc .
Premier cas : coplanaires
On est ramené au produit scalaire dans le plan, pour lequel on sait que la propriété est vraie.
Deuxième cas :
orthogonal à et orthogonal à . Si et sont colinéaires, on est ramené au premier cas.

Ma question est : pourquoi est-on ramené au premier cas?

il existe des scalaires x et y tels que le vecteurs t = u - xv -yw est orthogonal au plan (v, w)

on a alors :

Je pense que l'idée de la démonstration est la suivante :

dans le dessin qui se trouve deux posts plus haut, supposons que soit le vecteur vert, et que et soient les deux vecteurs rose situés dans le plan "horizontal".

a une composante suivant le vecteur rose "vertical",
et une composante sur le plan "horizontal", qui sont dessinées en pointillés.

La composante "verticale" n'a pas d'influence sur le produit scalaire, à cause de l'orthogonalité avec le plan "horizontal" et la nullité du produit scalaire qui en découle.

La composante horizontale du vecteur   obéit aux lois du produit scalaire dans le plan, que l'on suppose connue.

En gros, on généralise dans l'espace un produit scalaire qu'on suppose connu dans le plan, et si c'est une forme bilinéaire dans le plan, elle doit l'être aussi dans l'espace.

Mais je suis d'accord avec Améthyste et Carpe Diem,
mieux vaut présenter les choses différemment,
et définir directement le produit scalaire dans l'espace comme une forme bilinéaire, plutôt que de le démontrer de manière artificielle et acrobatique.

Amicalement,
--
Mateo.

où est une mesure de l'angle non orienté formé par les deux vecteurs

C'est pour ça que dans la démonstration,
un des cas utilise l'orthogonalité,
pour que le produit scalaire s'annule.

Exactement.

Un plan vectoriel est l'ensemble des combinaisons linéaires de deux vecteurs de base, non colinéaires.

Une droite vectorielle est l'ensemble de tous les vecteurs colinéaires à un seul vecteur de base.

Faut-il alors confondre deux droites parallèles d'équation et où et sous prétexte qu'elles ont même direction?

Absolument.

Tu parles de deux droites affines, moi je parlais de deux droites vectorielles.

Un espace affine ne passe pas forcément par l'origine du repère,
mais sa direction, l'espace vectoriel associé, passe par l'origine.

En Maths Sup, ces notions sont effleurées, mais si tu continues les maths encore quelques années, ton intuition sur ces notions va se confirmer.

Bonjour
@sgu35,   dans  ce cas, si vraiment tu  occultes  la définition de cos(u,v)  en fonction du produit scalaire alors  si tu veux aboutir à ta question,
on attend de ta part la définition du cos(u,v).  

La mesure de l'angle non orienté est l'unique réel dans qui a le même cosinus que toutes les mesures de l'angle orienté .

et le cosinus est la fonction trigonométrique introduit au cours de l'enseignement secondaire.

Mateo_13 : je ne suis pas d'accord et c'est pourquoi j'ai biffé ce que j'avais fait car c'est la même idée que toi ... mais cela nécessite d'utiliser la distributivité pour prouver la distributivité !!!

Citation :
deuxième cas : u, v et w ne sont pas coplanaires :

donc en particulier v et w ne sont pas colinéaires

il existe des scalaires x et y tels que le vecteurs t = u - xv -yw est orthogonal au plan (v, w)

on a alors :

et je ne vois pas comment on peut passer du cas u orthogonal à (v, w) au cas général sans utiliser cette propriété de distributivité ...

D'accord carpediem

je reconnais que tu as raison, la démonstration ne tient pas.

Amicalement,
--
Mateo.

Rebonsoir,
Evidemment, la formule proposée par lionel52  est préférable.
Mais on dirait que  sgu35 essaie de suivre une démonstration imposée ou d'en lire une  en essayant d'y comprendre quelque chose.
Difficile de savoir que lui suggérer.

Bonjour,

Il me semble qu'il y a au moins 4 définitions du produit scalaire (sans parler de la définition dans le supérieur : forme bilinéaire symétrique définie positive), heureusement toutes équivalentes. Il faut donc savoir de laquelle on part.

Au lycée, on démontre la distributivité du produit scalaire à partir de la formule des coordonnées : u.v=x1y1+x2y2+x3y3 (c'est immédiat avec cette formule), et on démontre l'équivalence des 4 définitions : coordonnées, cosinus, projection orthogonale (AB.AC (en vecteurs) =ABxAH (en mesure algébrique)), et celle de lionel52.

Bref, cela me parait difficile de démontrer directement la distributivité du produit scalaire à partir de la formule du cosinus.

Voici la démonstration complète :

Si , le résultat est clair. On suppose donc .

Premier cas : coplanaires. On est ramené au produit scalaire dans le plan, pour lequel on sait que la propriété visée est vraie.

Deuxième cas : orthogonal à et orthogonal à . Si et sont colinéaires, on est ramené au premier cas. Sinon, on pose , , . La droite (OA) est orthogonale à (OB) et (OC), donc au plan (OBC). En posant , le point D est dans ce plan, et donc (OA) est orthogonale à la droite (OD). On conclut : orthogonal à , ce qui est le résultat souhaité.

Troisième cas : cas général. On pose et on note B', C' les projections orthogonales de B et C, respectivement sur (OA). On a :
.
Les vecteurs , sont coplanaires (les deux premiers sont colinéaires). D'après le premier cas, on a donc :

et sont tous les deux orthogonaux à .
D'après le deuxième cas, on a .
Enfin, sont colinéaires, donc d'après le premier cas :

Oui en gros tu te sers de ce que tu sais déjà sur le plan pour conclure...
Sauf que démontrer la distributivité dans le plan bah c'est la même diffculté donc... donc je trouve que c'est un peu de la triche

ok ... plutôt que de projeter u sur (v, w) on projette v et w sur u ...

et je rejoins lionel52 : j'aimerais bien voir la démo de la distributivité dans le plan ... car c'est un peu artificiel ...

Dans mon livre, on a démontré que le produit scalaire dans le plan est bilinéaire.

Propriété :


Démonstration :
Si , le résultat est clair. Supposons donc . Remarquons tout d'abord que, :

Si k=0, c'est évident.
Si k>0, on a , donc .
Si k<0, on a , donc .
Soit maintenant et les projetés orthogonaux de et sur la direction de .
Le projeté orthogonal de est . Il vient :

Notons et . On a :

D'où :

bonjour

effectivement il y a confusion entre loi interne et externe ...

Bonjour,

Bien vu. J'étais gênée aussi (sans savoir pourquoi) par le terme "distributivité". Le produit scalaire est une loi externe à l'espace vectoriel, et on ne parle de distributivité que dans le cas d'une loi interne distributive sur une autre loi interne.