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Niveau maths sup
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produit scalaire

Posté par
sgu35
13-06-20 à 20:01

Bonjour,
j'ai une petite question concernant la bilinéarité du produit scalaire :

Proposition :
si \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} sont trois vecteurs, on a :
\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}

Démonstration :
si \vec{u}=\vec{0}, le résultat est clair. On suppose donc \vec{u}\ne \vec{0}.
Premier cas : \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} coplanaires
On est ramené au produit scalaire dans le plan, pour lequel on sait que la propriété est vraie.
Deuxième cas :
\vec{u} orthogonal à \vec{v} et \vec{u} orthogonal à \vec{w}. Si \vec{v} et \vec{w} sont colinéaires, on est ramené au premier cas.

Ma question est : pourquoi est-on ramené au premier cas?

Posté par Profil amethystere : produit scalaire 13-06-20 à 20:06

salut

il n'y a rien à démontrer puisque cela fait partie de la définition d'une forme bilinéaire

i.e une application linéaire f bilinéaire d'un R-espace vectoriel sur R

f(u,v+w) = f(u+v) +f(u+w)

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 13-06-20 à 20:09

Justement on ne sait pas que le produit scalaire est une forme bilinéaire.

Posté par Profil amethystere : produit scalaire 13-06-20 à 20:13

sgu35 @ 13-06-2020 à 20:09

Justement on ne sait pas que le produit scalaire est une forme bilinéaire.


personne n'a dit ça

vous demandez "concernant la biliéarité du produit scalaire"

vous commencez mal votre phrase :

le produit scalaire hermitien n'est pas une forme  bilinéaire

Posté par
co11
re : produit scalaire 13-06-20 à 20:32

Bonsoir,

Citation :
Deuxième cas :
\vec{u} orthogonal à \vec{v} et \vec{u} orthogonal à \vec{w}. Si \vec{v} et \vec{w} sont colinéaires, on est ramené au premier cas.

Ma question est : pourquoi est-on ramené au premier cas?

Eh bien oui, car dans ce cas, les 3 vecteurs sont coplanaires puisque 2 d'entre eux sont colinéaires.

Posté par Profil amethystere : produit scalaire 13-06-20 à 20:39

Co11  il veut démontrer qu'un produit scalaire est une forme bilinéaire

bah justement on ne peut pas le prouver

le produit scalaire hermitien est une forme sesquilinéaire (pas du tout bilinéaire)

et on ne sait rien de son K-espace vectoriel

soit il pose son EV et sa forme bilinéaire et du coup d'emblée f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)

ou sinon il pose un truc qui est sensé être une forme bilinéaire et il doit prouver

que son truc va donner (entre autre)  va donner f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)

Posté par
co11
re : produit scalaire 13-06-20 à 20:56

Tout de même, je ne suis pas certaine que ce cas soit très intéressant, puisqu'on est ramené immédiatement au cas "vecteurs coplanaires"

Posté par Profil amethystere : produit scalaire 13-06-20 à 21:01

co11 @ 13-06-2020 à 20:56

Tout de même, je ne suis pas certaine que ce cas soit très intéressant, puisqu'on est ramené immédiatement au cas "vecteurs coplanaires"


intéressant pour faire quoi?

démontrer la bilinéarité du produit scalaire ?

c'est pourtant ce qu'il essaye de faire

mais c'est impossible vu qu'un produit scalaire n'est pas forcément une forme bilinéaire

il ne nous dit pas à quel corps appartiennent les scalaires

c'est un R-espace vectoriel ou un C-espace vectoriel ?

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 13-06-20 à 22:01

Il s'agit de l'ensemble des vecteurs de l'espace qui est un espace vectoriel sur \R de dimension 3.

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 13-06-20 à 22:09

Ce qui est étrange c'est que le deuxième cas se ramène au premier.
Dans le cas 2, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ne sont pas coplanaires, puisque le cas 1 traite de cette propriété.

Posté par Profil amethystere : produit scalaire 13-06-20 à 22:13

ok nommons  E cet espace vectoriel

et  votre produit scalaire est défini par

\langle x|y\rangle = \sum _{i=1}^3 x_i.y_i

on préfère écrire le produit scalaire par \langle -|- \rangle

cela permet d'éviter de confondre le point de la loi externe à gauche \lambda .v =w où ici \lambda \in \mathbb {R} , v\in E,w\in E et qui se nomme produit par un scalaire avec le produit scalaire

à partir de là vous pouvez démontrer que la forme est bilinéaire

écrivez quelles sont les conditions d'une forme bilinéaire et utilisez le produit scalaire défini ci-dessus pour démontrer qu'il s'agit bien d'une forme bilinéaire

Posté par
lionel52
re : produit scalaire 13-06-20 à 22:18

Hello vraiment bizarre comme demo...

Si le produit scalaire dans le plan est déjà connu  tu as une expression du produit scalaire de u et v :

u.v = 1/2 (||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2)

Si tu poses u = (u1,u2,u3) et v = (v1,v2,v3) et si tu developpes tu as directement u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Et là tu vois que u.(v+w) = uv + uw


Sans prendre en compte tous ces cas bizarres

Posté par
co11
re : produit scalaire 13-06-20 à 22:35

Citation :
Ce qui est étrange c'est que le deuxième cas se ramène au premier.
Dans le cas 2, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ne sont pas coplanaires, puisque le cas 1 traite de cette propriété.

Mais enfin ,je te rappelle ton énoncé de départ :
Citation :
Deuxième cas :
\vec{u} orthogonal à \vec{v} et \vec{u} orthogonal à \vec{w}. Si \vec{v} et \vec{w} sont colinéaires, on est ramené au premier cas.
si les vecteurs v et w sont colinéaires, alors u, v, w sont sont coplanaires, donc cf cas 1

Peut-être lionel52 réussira-t-il à clarifier tout cela .....

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 13-06-20 à 22:41

Le produit scalaire est défini ainsi :
\vec{u}.\vec{v}=0 si \vec{u} ou \vec{v} est nul,
||\vec{u}||.||\vec{v}||cos(\vec{u},\vec{v})(\vec{u},\vec{v}) est l'angle orienté formé par les deux vecteurs

Posté par
Mateo_13
re : produit scalaire 14-06-20 à 05:50

Bonjour,

sgu35 @ 13-06-2020 à 20:01


Deuxième cas :
\vec{u} orthogonal à \vec{v} et \vec{u} orthogonal à \vec{w}. Si \vec{v} et \vec{w} sont colinéaires, on est ramené au premier cas.

Ma question est : pourquoi est-on ramené au premier cas?


Comme l'a écrit co11, si \vec{v} et \vec{w} sont colinéaires, alors
\vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires,
un simple dessin suffit pour le comprendre sans difficulté.

Mais la démonstration que tu as publiée est incomplète.
Dans le deuxième cas, il manque le sous-cas où les trois vecteurs ne sont pas coplanaires,

et il manque un troisième cas : celui où \vec{u} n'est ni orthogonal aux deux autres vecteurs, ni coplanaire avec eux.

Je pense que pour comprendre cette démonstration complètement, il faut dessiner les vecteurs en perspective cavalière, avec les projections des composantes sur les plans et sur les axes.

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
Mateo_13
re : produit scalaire 14-06-20 à 06:06

[URL=https://www.casimages.com/i/200614061459866362.png.html]produit scalaire[/URL]

Posté par Profil amethystere : produit scalaire 14-06-20 à 06:20

je quitte ce sujet aussi

j'ai visiblement rien compris à l'énoncé (j'ai même pas l'excuse du soir car on est le matin)

Posté par
carpediem
re : produit scalaire 14-06-20 à 10:41

salut

je ne vois pas trop le lien entre la bilinéarité d'un produit scalaire et la propriété générale qu'un produit scalaire est distributif par rapport à l'addition ... même si c'est une conséquence directe du fait qu'un produit scalaire est bilinéaire ... (mais qu'on ne le sait pas (voir à 20h09)

sgu35 @ 13-06-2020 à 20:01

Proposition :  si \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} sont trois vecteurs alors :  \vec{u}.(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}

Démonstration :
si \vec{u}=\vec{0}, le résultat est clair. On suppose donc \vec{u}\ne \vec{0}.
Premier cas : \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} coplanaires
On est ramené au produit scalaire dans le plan, pour lequel on sait que la propriété est vraie.
Deuxième cas :
\vec{u} orthogonal à \vec{v} et \vec{u} orthogonal à \vec{w}. Si \vec{v} et \vec{w} sont colinéaires, on est ramené au premier cas.

Ma question est : pourquoi est-on ramené au premier cas?
si u est orthogonal à v et w et si w est colinéaires à v alors les vecteurs u, v et w sont coplanaires ... donc on est ramené au produit scalaire dans le plan (pour lequel on a admis la propriété de distributivité) ...

et ce deuxième cas manque singulièrement de généralité :

premier cas : u, v et w sont coplanaires

(et il faut considérer le cas v et w sont colinéaires)

deuxième cas : u, v et w ne sont pas coplanaires :

donc en particulier v et w ne sont pas colinéaires

il existe des scalaires x et y tels que le vecteurs t = u - xv -yw est orthogonal au plan (v, w)

on a alors :

\cancel {\vec t \cdot (\vec v + \vec w) = 0 \iff \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = }
et je ne vois pas comment on peut passer du cas u orthogonal à (v, w) au cas général sans utiliser cette propriété de distributivité ...

la seule méthode raisonnable est de passer par la propriété rappelée par lionel52

Posté par
Mateo_13
re : produit scalaire 14-06-20 à 11:22

Je pense que l'idée de la démonstration est la suivante :

dans le dessin qui se trouve deux posts plus haut, supposons que \vec{u} soit le vecteur vert, et que \vec{v} et \vec{w} soient les deux vecteurs rose situés dans le plan "horizontal".

\vec{u} a une composante suivant le vecteur rose "vertical",
et une composante sur le plan "horizontal", qui sont dessinées en pointillés.

La composante "verticale" n'a pas d'influence sur le produit scalaire, à cause de l'orthogonalité avec le plan "horizontal" et la nullité du produit scalaire qui en découle.

La composante horizontale du vecteur  \vec{u} obéit aux lois du produit scalaire dans le plan, que l'on suppose connue.

En gros, on généralise dans l'espace un produit scalaire qu'on suppose connu dans le plan, et si c'est une forme bilinéaire dans le plan, elle doit l'être aussi dans l'espace.

Mais je suis d'accord avec Améthyste et Carpe Diem,
mieux vaut présenter les choses différemment,
et définir directement le produit scalaire dans l'espace comme une forme bilinéaire, plutôt que de le démontrer de manière artificielle et acrobatique.

Amicalement,
--
Mateo.

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 14-06-20 à 12:02

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||cos(\vec{u},\vec{v})(\vec{u},\vec{v}) est une mesure de l'angle non orienté formé par les deux vecteurs

Posté par
Mateo_13
re : produit scalaire 14-06-20 à 12:39

C'est pour ça que dans la démonstration,
un des cas utilise l'orthogonalité,
pour que le produit scalaire s'annule.

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 14-06-20 à 16:16

Citation :
Eh bien oui, car dans ce cas, les 3 vecteurs sont coplanaires puisque 2 d'entre eux sont colinéaires.

Est-ce que deux vecteurs colinéaires définissent une droite au lieu d'un plan?

Posté par
Mateo_13
re : produit scalaire 14-06-20 à 16:36

Exactement.

Un plan vectoriel est l'ensemble des combinaisons linéaires de deux vecteurs de base, non colinéaires.

Une droite vectorielle est l'ensemble de tous les vecteurs colinéaires à un seul vecteur de base.

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 14-06-20 à 16:53

Faut-il alors confondre deux droites parallèles d'équation y=\alpha x + \beta et y= \alpha x +\gamma \alpha , \beta et \gamma \in \R sous prétexte qu'elles ont même direction?

Posté par
Mateo_13
re : produit scalaire 14-06-20 à 17:46

Absolument.

Tu parles de deux droites affines, moi je parlais de deux droites vectorielles.

Un espace affine ne passe pas forcément par l'origine du repère,
mais sa direction, l'espace vectoriel associé, passe par l'origine.

En Maths Sup, ces notions sont effleurées, mais si tu continues les maths encore quelques années, ton intuition sur ces notions va se confirmer.

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 14-06-20 à 18:00

Citation :
salut
il n'y a rien à démontrer puisque cela fait partie de la définition d'une forme bilinéaire
i.e une application linéaire f bilinéaire d'un R-espace vectoriel sur R
f(u,v+w) = f(u+v) +f(u+w)

On ne définit pas le produit scalaire en disant qu'il est bilinéaire : on veut le démontrer en partant de sa définition :
\vec{u}.\vec{v}=0 si \vec{u} ou \vec{v} est nul,
||\vec{u}||.||\vec{v}||cos(\vec{u},\vec{v})(\vec{u},\vec{v}) est une mesure de l'angle non orienté formé par les deux vecteurs

Posté par
XZ19
re : produit scalaire 14-06-20 à 18:47

Bonjour
@sgu35,   dans  ce cas, si vraiment tu  occultes  la définition de cos(u,v)  en fonction du produit scalaire alors  si tu veux aboutir à ta question,
on attend de ta part la définition du cos(u,v).  

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 14-06-20 à 19:36

La mesure de l'angle non orienté \widehat{(\vec{u},\vec{v})} est l'unique réel dans [0;\pi] qui a le même cosinus que toutes les mesures de l'angle orienté (\vec{u},\vec{v}).

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 14-06-20 à 19:36

et le cosinus est la fonction trigonométrique introduit au cours de l'enseignement secondaire.

Posté par
carpediem
re : produit scalaire 14-06-20 à 20:58

Mateo_13 : je ne suis pas d'accord et c'est pourquoi j'ai biffé ce que j'avais fait car c'est la même idée que toi ... mais cela nécessite d'utiliser la distributivité pour prouver la distributivité !!!

Citation :
deuxième cas : u, v et w ne sont pas coplanaires :

donc en particulier v et w ne sont pas colinéaires

il existe des scalaires x et y tels que le vecteurs t = u - xv -yw est orthogonal au plan (v, w)

on a alors :

\vec t \cdot (\vec v + \vec w) = 0 \iff \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \red (x \vec v + y \vec w) \cdot (\vec v + \vec w) et je ne vois pas comment on peut passer du cas u orthogonal à (v, w) au cas général sans utiliser cette propriété de distributivité ...
car je l'utilise pour écrire cette équivalence

t est la composante orthogonale de u et x v + yw est la composante "coplanaire" (dans le plan (u, v)


et je ne vois pas comment on peut faire avec la définition avec le cosinus ...

Posté par
Mateo_13
re : produit scalaire 14-06-20 à 21:16

D'accord carpediem

je reconnais que tu as raison, la démonstration ne tient pas.

Amicalement,
--
Mateo.

Posté par
co11
re : produit scalaire 14-06-20 à 22:51

Rebonsoir,
Evidemment, la formule proposée par lionel52  est préférable.
Mais on dirait que  sgu35 essaie de suivre une démonstration imposée ou d'en lire une  en essayant d'y comprendre quelque chose.
Difficile de savoir que lui suggérer.

Posté par
coa347
re : produit scalaire 15-06-20 à 11:10

Bonjour,

Il me semble qu'il y a au moins 4 définitions du produit scalaire (sans parler de la définition dans le supérieur : forme bilinéaire symétrique définie positive), heureusement toutes équivalentes. Il faut donc savoir de laquelle on part.

Au lycée, on démontre la distributivité du produit scalaire à partir de la formule des coordonnées : u.v=x1y1+x2y2+x3y3 (c'est immédiat avec cette formule), et on démontre l'équivalence des 4 définitions : coordonnées, cosinus, projection orthogonale (AB.AC (en vecteurs) =ABxAH (en mesure algébrique)), et celle de lionel52.

Bref, cela me parait difficile de démontrer directement la distributivité du produit scalaire à partir de la formule du cosinus.

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 15-06-20 à 14:49

Voici la démonstration complète :

Si \vec{u}=\vec{0}, le résultat est clair. On suppose donc \vec{u}\ne\vec{0}.

Premier cas : \vec{u},\vec{v},\vec{w} coplanaires. On est ramené au produit scalaire dans le plan, pour lequel on sait que la propriété visée est vraie.

Deuxième cas : \vec{u} orthogonal à \vec{v} et \vec{u} orthogonal à \vec{w}. Si \vec{v} et \vec{w} sont colinéaires, on est ramené au premier cas. Sinon, on pose \vec{u}=\vec{OA}, \vec{v}=\vec{OB}, \vec{w}=\vec{OC}. La droite (OA) est orthogonale à (OB) et (OC), donc au plan (OBC). En posant \vec{v}+\vec{w}=\vec{OD}, le point D est dans ce plan, et donc (OA) est orthogonale à la droite (OD). On conclut : \vec{u} orthogonal à \vec{v}+\vec{w}, ce qui est le résultat souhaité.

Troisième cas : cas général. On pose \vec{u}=\vec{OA}, \vec{v}=\vec{OB}, \vec{w}=\vec{OC} et on note B', C' les projections orthogonales de B et C, respectivement sur (OA). On a :
\vec{OA}.(\vec{OB}+\vec{OC})=\vec{OA}.(\vec{OB'}+\vec{B'B}+\vec{OC'}+\vec{C'C}).
Les vecteurs \vec{OA}, \vec{OB'}+\vec{OC'}, \vec{B'B}+\vec{C'C} sont coplanaires (les deux premiers sont colinéaires). D'après le premier cas, on a donc :
\vec{OA}.(\vec{OB}+\vec{OC})=\vec{OA}.(\vec{OB'}+\vec{OC'})+\vec{OA}.(\vec{B'B}+\vec{C'C}).
\vec{B'B} et \vec{C'C} sont tous les deux orthogonaux à \vec{OA}.
D'après le deuxième cas, on a \vec{OA}.(\vec{B'B}+\vec{C'C})=0.
Enfin, \vec{OA}, \vec{OB'}, \vec{OC'} sont colinéaires, donc d'après le premier cas :
\vec{OA}.(\vec{OB'}+\vec{OC'}=\vec{OA}.\vec{OB'}+\vec{OA}.\vec{OC'}=\vec{OA}.\vec{OB}+\vec{OA}.\vec{OC}

Posté par
lionel52
re : produit scalaire 15-06-20 à 14:52

Oui en gros tu te sers de ce que tu sais déjà sur le plan pour conclure...
Sauf que démontrer la distributivité dans le plan bah c'est la même diffculté donc... donc je trouve que c'est un peu de la triche

Posté par
carpediem
re : produit scalaire 15-06-20 à 14:57

ok ... plutôt que de projeter u sur (v, w) on projette v et w sur u ...

Posté par
carpediem
re : produit scalaire 15-06-20 à 14:58

et je rejoins lionel52 : j'aimerais bien voir la démo de la distributivité dans le plan ... car c'est un peu artificiel ...

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 15-06-20 à 15:01

Dans mon livre, on a démontré que le produit scalaire dans le plan est bilinéaire.

Posté par
sgu35
re : produit scalaire 15-06-20 à 15:36

Propriété :
\forall \vec{u}, \vec{v_1}, \vec{v_2} \in P,\forall \lambda_1, \lambda_2 \in \R, 
 \\ \vec{u}.(\lambda_1 \vec{v_1}+\lambda_2 \vec{v_2})=\lambda_1 \vec{u}.\vec{v_1}+ \lambda_2 \vec{u}.\vec{v_2}.

Démonstration :
Si \vec{u}=\vec{0}, le résultat est clair. Supposons donc \vec{u}\ne \vec{0}. Remarquons tout d'abord que, \forall k \in \R :
\vec{u}.(k\vec{u})=k\vec{u}^2
Si k=0, c'est évident.
Si k>0, on a (\vec{u},k\vec{u})\equiv 0 \mod{2\pi}, donc \vec{u}.(k\vec{u})=||\vec{u}||.||k\vec{u}||=|k|.||\vec{u}||^2=k\vec{u}^2.
Si k<0, on a (\vec{u},k\vec{u})\equiv \pi \mod{2\pi}, donc \vec{u}.(k\vec{u})=-||\vec{u}||.||k\vec{u}||=-|k|.||\vec{u}||^2=k\vec{u}^2.
Soit maintenant \vec{v'_1} et \vec{v'_2} les projetés orthogonaux de \vec{v_1} et \vec{v_2} sur la direction de \vec{u}.
Le projeté orthogonal de \lambda_1 \vec{v_1}+\lambda_2 \vec{v_2} est \lambda_1 \vec{v'_1}+\lambda_2 \vec{v'_2}. Il vient :
\vec{u}.(\lambda_1 \vec{v_1}+\lambda_2 \vec{v_2})=\vec{u}.(\lambda_1 \vec{v'_1}+\lambda_2 \vec{v'_2})
Notons \vec{v'_1}=k_1 \vec{u} et \vec{v'_2}=k_2 \vec{u}. On a :
\lambda_1 \vec{v'_1}+\lambda_2 \vec{v'_2}=(\lambda_1 k_1 + \lambda_2 k_2)\vec{u}
D'où :
\vec{u}.(\lambda_1 \vec{v_1}+\lambda_2 \vec{v_2})=\vec{u}.(\lambda_1 k_1 + \lambda_2 k_2)\vec{u}
 \\ =(\lambda_1 k_1 + \lambda_2 k_2)\vec{u}^2
 \\ =\lambda_1 k_1 \vec{u}^2+\lambda_2 k_2 \vec{u}^2
 \\ =\lambda_1 \vec{u}.(k_1 \vec{u})+\lambda_2 \vec{u}.(k_2 \vec{u})
 \\ =\lambda_1 \vec{u}.\vec{v'_1} + \lambda_2 \vec{u}.\vec{v'_2}
 \\ =\lambda_1 \vec{u}.\vec{v_1} + \lambda_2 \vec{u}.\vec{v_2}

Posté par
lafol Moderateur
re : produit scalaire 15-06-20 à 19:06

bonjour

carpediem @ 14-06-2020 à 10:41

salut

je ne vois pas trop le lien entre la bilinéarité d'un produit scalaire et la propriété générale qu'un produit scalaire est distributif par rapport à l'addition ...


le lien c'est que la distributivité d'un produit non interne sur une loi interne, ça n'a pas de sens, et que ce que vous êtes plusieurs à vouloir nommer distributivité n'est que la partie "additivité" de la bilinéarité du produit scalaire ....

Posté par
carpediem
re : produit scalaire 15-06-20 à 19:23

effectivement il y a confusion entre loi interne et externe ...

Posté par
coa347
re : produit scalaire 16-06-20 à 09:25

Bonjour,

Bien vu. J'étais gênée aussi (sans savoir pourquoi) par le terme "distributivité". Le produit scalaire est une loi externe à l'espace vectoriel, et on ne parle de distributivité que dans le cas d'une loi interne distributive sur une autre loi interne.



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