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Niveau seconde
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Produit scalaire

Posté par
Asata
20-04-22 à 15:44

Bonjour j'ai un exercice que je comprends pas bien
Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A.
Soit I le point de [AB] tel que AI = AB/3 ;
J le point de [AC] tel que AJ = AC/3 ; et K le milieu de [IC].

Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.

Produit scalaire

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-04-22 à 16:01

Bonjour,
Qu'as-tu essayé de faire ?

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 20-04-22 à 16:02

salut

tout est dans le titre en utilisant la relation de Chasles ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-22 à 16:26

Bonjour à tous,
@Asata,
Tu as posté un autre sujet similaire pour lequel tu as eu des réponses.
Suivies d'un silence radio assourdissant...
La bienséance voudrait que tu répondes dans le premier sujet avant d'en poster un autre.

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 17:03

Avec la relation de Chasles j'ai trouvé AK=AI+IK et JB=JA+AB mais je suis bloqué je n'arrive pas à faire la suite

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-04-22 à 17:10

JB = JA + AB te servirsa.
Quant à AK, ce n'est pas suffisant . Il faudrait que tu le décompose aussi suivant des vecturs portés par les côtés de l'angle droit du triangle ABC.

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-04-22 à 17:10

te servira

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 20-04-22 à 17:10

AK = AI + IK mais AK = AC +CK

donc 2AK = ...

ensuite quelle est le titre de ton post ?
conclusion ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-04-22 à 17:11

décomposes

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 18:23

Le titre de mon poste est sur le produit scalaire

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 18:39

Je ne comprends toujours rien hein bon On sait que AK=AC+CK et JB=JA+AB mais comment trouver un lien entre AK et JB pour que le produit scalaire AK.JB=0

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 18:57

Selon moi 2AK=AC+AI d'où AK=1/2AK+1/2AI

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-04-22 à 19:14

2AK = AC + AI , c'est juste.

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 19:19

Comment trouver un lien entre AK.JB

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 20-04-22 à 19:37

tu veux montrer que les droites (AK) et (BJ) sont perpendiculaires ...
que te suffit-il de démontrer pour avoir cela ?

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 20:10

Il me suffit de démontrer que les produits scalaire AK.JB=0

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 20-04-22 à 20:19

ben voila !!!

et cela change-t-il si on calcule le produit scalaire 2AK.JB ?

il suffit alors de reprendre ce que tu as trouvé pour JB et 2AK ...

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 21:07

Ok je voit maintenant

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 21-04-22 à 13:44

et alors ?

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 22-04-22 à 00:26

Bonsoir
On a d'abord JB=JA.+AB ET AK=1/2AC+1/2AI
j'ai ensuite calculé le produit scalaire AK.JB ce qui donne AK.JB=1/2AC.JA+1/2AC.AB+1/2AI.JA+1/2AI.AB=1/2AC.JA+1/2AI.AB or on sait que AI=1/3AB comment le triangle est rectangle isocèle alors AB=AC et AJ=1/3AC=1/3AB on n'a donc 1/2AC.JA=1/2×(-1)AB×1/3AB=-1/6AB² car les vecteur AC JA sont de sens opposé
1/2AI.AB=1/2×1/3×AB×AB=1/6AB²
et on conclure

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 22-04-22 à 10:10

comme je l'ai dit calculer le produit scalaire 2AK.JB est suffisant puisque 2 * 0 = 0 et évite d'alourdir les expressions avec des coefficients 1/2 ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 22-04-22 à 14:07

Bonjour

et même le coefficient 1/3 peut être éliminé
en effet il suffit juste d'écrire en littéral que AB = AC et AI = AJ
et donc \vec{AB}.\vec{AI} = AB\times AI = AC\times AJ = \vec{AC}.\vec{AJ} = -\vec{AC}.\vec{JA}

ouvrant la voie à une généralisation du problème à un triangle rectangle quelconque et des points I et J tels que AI et AJ soient inversement proportionnels aux côtés :

\dfrac{AI}{1/AB}= \dfrac{AJ}{1/AC}= k quelconque.


nota (ça fait mal aux yeux, et même modifie le sens) :
comme le triangle ... on a donc ... on conclut



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