Bonjour tu apprendras sûrement plus tard qu'on appelle produit scalaire réel toute application f de deux variables de E (R-espace vectoriel) à valeurs dans R vérifiant les propriétés suivantes:

(x,y,z)€E³, a€R
- f(x,y) = f(y,x) symétrique
- f(ax+y,z) = af(x,z) + f(y,z) (bilinéaire (grâce à la symétrie))
- f(x,x) >= 0 (avec f(x,x)=0 <=> x=0) (définie positive)

Ainsi l'application Phi définit sur C_2Pi (ev des fonctions continues 2Pi-périodiques) par
(f,g)€C_2Pi², Phi(f,g) = _02Pif(t)*g(t)dt est un produit scalaire.

Le produit scalaire complexe a une définition très similaire.

Sauf erreur.

Donc pour répondre à ta question en prenant u et v tels qu'ils forment une base de R²
Tout vecteur de R² peut s'écrire comme une unique combinaison linéaire de ces deux vecteurs
A = a₁*u + a₂*v
B = b₁*u + b₂*v

Donc f(A,B) = a₁*b₁ + a₂*b₂ définit bien un produit scalaire.

Je ne suis pas sûr d'avoir répondu à ta question m'enfin.

Désolé pour le premier post j'avais oublié que tu étais en première et donc je me suis un peu enflammé ^^

Bonjour, merci de ta réponse, en fait pour ton premier post je connaissais déjà cette définition.
Mais ma question était plutôt quelle est la définition du produit scalaire de vecteurs dans le plan vu qu'on nous apprend qu'il est égal à xx'+yy' seulement dans le cas d'une base orthonormale et qu'il me semble que l'orthogonalité (donc l'orthonormalité) se définit justement grâce au produit scalaire.
Pourquoi la somme des produits des coordonnées d'un vecteur dans une base quelconque ne serait pas "le" produit scalaire défini en première?

Je sais pas si je suis assez clair...

Fractal

Ba je ne saurai te répondre. En première on apprend que le produit scalaire canonique associé à la base canonique ((1,0),(0,1)).

Effectivement on ne peut parler de base orthonormée qu'une fois qu'on a définit un produit scalaire, et pou le plan euclidien (ou l'espace d'ailleurs) qu'on étudie au lycée, on choisit le produit scalaire dit canonique sur R² qui vaut xx' + yy' ssi (x,y) et (x',y') sont les coordonnées de deux points dans la base canonique.

Maintenant si tu veux choisir une base (u,v), et poser, si a = x.u + y.v et b = x'.u + y'.v,  a.b = x.x' + y.y' aors tu peux vérifier que ce sera bien un produit scalaire (forme bilinéaire symétrique définie positive). Cpendant la base canonique ne sera peut etre pas orthonormée pour ce produit scalaire alors que la base (u,v) le sera.

Tout dépends donc du choix u produit scalaire.