J'ai bêtement testé avec A = et h = [tex]\[\array{1\\2}\].
Je trouve respectivement (1x1+2x2)²+(1x0+2x1)²=29 et (1x1+0x2)²+(2x1+1x2)²=17 pour chaque membre...
Où est mon erreur ?

Ce que j'ai écrit est simple à vérifier, tu t'es planté dans tes calculs peut-être.

Ça y est, j'ai compris mon erreur :
votre formule est correcte si a_i est le i-ème vecteur-colonne de la transposée de A.
Évidemment, seulement pour ||.||₂ puisque vous faites une somme de carrés. Il suffit de prendre un contre-exemple, me semble-t-il...

Oui un contre-exemple, tu en as un ?

On peut prendre à peu près n'importe quoi, c'est rare que ça marche !
ex en dim 2 : A=Id, h=un vecteur de base. ||Ah|| = 1.
Avec la norme 1 : Somme = 2.
Avec la norme 2 : Somme = 1.
Avec la norme sup : Somme = 5/4.

Qu'est-ce que tu racontes ? Tu n'as pas compris le problème. Il faut partir d'un produit scalaire et prendre la norme associée à ce produit scalaire.

Au cas où je n'ai pas été assez explicite :
||Ah||₁ = ||Ah||₂ = ||Ah||_∞ = 1 ;




Je trouve que vous y allez fort...
1) Vous proposez un énoncé faux ;
2) Vous ne prenez même pas la peine de refaire le calcul que je vous ai proposé et qui vous l'aurait montré ; au lieu de cela vous attendez que je me casse la tête à deviner tout seul votre erreur ;
3) Incapable de prendre le premier contre-exemple venu, vous me sommez d'en exhiber un, que vous ne semblez, à nouveau, même pas avoir refait.

Cette approche ne me semble pas convenir à un échange constructif.

Ah parce que les normes 1 et sup sont associées à des produits scalaires maintenant ? C'est une réforme des mathématiques ?

Tu peux expliquer comment sont définis et ?

Pour ceux qui ont des souvenirs d'algèbre bilinéaire et qui réfléchissent avant d'être surs d'eux, on n'a pas un résultat du genre : tout produit scalaire s'écrit où est le produit scalaire usuel ?

.. et où S est une matrice symétrique.

Si M est une matrice symétrique est-il vrai qu'il existe S symétrique telle que M=S² ? Je crois que oui si M est définie positive mais sinon ?

Enfin seul le cas M définie positive m'intéresse en fait, car si M représente la matrice du produit scalaire, on a bien le produit scalaire qui s'écrit si je ne me trompe pas ? Dis-je des bêtises ?

Bon si je ne me trompe pas.

Je prends sur le produit scalaire , qui est aussi .

Je prends et . Avec cela et (1,1) est aussi chacune des deux lignes et de .

On trouve alors et , et ainsi on n'a pas parce que le membre de droite est un entier pair.


Conclusion :

L'égalité est fausse en général. On peut voir qu'elle vraie cependant si la matrice du produit scalaire est diagnoale.

Maintenant je me demande :

Quelle est la formule analigue à pour un produit scalaire quelconque ?