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produit scalaire hilbertien standard
Bonjour j'ai comme l'impression qu'il y a un problème dans mon cours.
Voila,
on considére E un 
-espace vectoriel. de dimension finie. On définit un produit scalaire hilbertien sur E comme une forme hermitienne définie positive.
Puis (comme il y a le produit scalaire standard sur 
n) on définit le produit scalaire hilbertien standard sur n de la manière suivante:
Problème: la norme associé à ce produit scalaire ( n'est justement pas une norme !
En effet, on a: avec
Ca marche bien sur avec des u "plus simple" mais c'ets sur cette exemple que je me suis rendu compte qu'il y avait un problème. J'ai cherché sur internet mais je n'ai pas trouver à quoi ressembler le produit scalaire hilbertien standard. Merci d'avance de vos réponses.
ok merci. je pensais que c'était ça mais j'avais un petit doute. Donc il y a bien une erreur dans mon cours.
le " produit scalaire hilbertien standard sur n " etait défini par <x , y> = 
xk.yk* mais la tendance actuelle est de prendre xk*.yk . Je ne sais qui a l'autorité nécessaire pour imposer une définition plutôt que l'autre .
hum mais le problème c'est que ça ne donne pas les mêmes résultats ? Pourtant c'est bizarre sur un exemple j'obtiens le même résultats mais à priori ces deux définitions sont bien différentes (dans le sens on obtient pas forcement les mêmes résultats) ?
Qu'on mette la barre de conjugaison à droite ou à gauche ne change strictement rien, à partir du moment où on reste tout le temps cohérent avec cette définition ...
oui bien sur. Ce que je veux dire c'est que à priori ce n'est pas le même résultat. Et il se peut très bien que le prof dans sa tête pour lui la barre de conjugaison est à droite et pour moi à gauche. Alors on aura des résultats différents.... Et je pense pas que le prof va analyser chaque copie au point de voir qu'elle définition on a pris. Le mieux aurait été que dans le poly (qui est la référence du cours) on ait une définition une bonne fois pour toute afin d'éviter un choix différent du prof. Mais justement dans le poly il s'est trompé sur la définition...
Bref, tout ça n'est pas très important au final. Je prend la barre de conjugaison tout le temps à gauche et voila. Je reste cohérent tout au long de la copie et ça devrait passer.
S'il y a une coquille dans la définition du produit scalaire sur le poly, à mon avis, la barre de conjugaison doit quand même apparaître plus loin. Tu pourras alors voir si elle est à gauche ou à droite.
Ce serait quand même étonnant qu'un prof rédige un poly sur les espaces hermitiens, et oublie la barre de conjugaison dans toutes les formules ...
Il y a un argument assez fort pour définir les formes sesquilinéaires comme étant semi-linéaires à gauche et linéaires à droite : c'est la formule de changement de base.
Pour une forme semi-linéaire à gauche et linéaire à droite, la formule de changement de base est (où
est l'adjointe (= conjuguée de la transposée) de
. C'est la même formule que pour une forme bilinéaire, en remplaçant "transposée" par "adjointe".
Pour une forme linéaire à gauche et semi-linéaire à droite, la formule de changement de base devrait être : beurk!
malheureusement beaucoup d'adultes, et en particulier des profs, ne savent plus conjuguer !!
Sinon à priori à aucun autre moment du cours on voit l'utilisation concréte du produit scalaire (c'est que des démos donc à priori ça marche avec tout les produits scalaires donc pas de forme explicite).
Merci. Bonne soirée.
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