Bonsoir Melle Papillon

Indication pour montrer que ces polynômes forment une base : détermine le degré de .

Kaiser

oui je l'ai déjà fait dans une question précedente mais ça ne va pas forcément faire une matrice diagonale non ?

Si, si, ça va bel et bien faire une matrice diagonale.
Revenons d'abord à notre histoire de base.
Qu'as-tu trouvé comme degré ?

Bonsoir

Je ne suis pas sur mais je crois que si les degrés sont échelonnés, alors cela forme une base...

A vérifier

Joelz

Bonjour, escusez moi j'étais partie dormir
j'ai trouvé que le degré de Pn est n et que son coeffcient est an= (2n)!/ 2^n (n!)^2

j'ai calculé les premiers termes
Po=1
P1= X
P2= 3X^2/2 -1/2
P3= 5/2 X^3 - 3/2X
.... mais dans la base cononique 1,X,X^2...X^n ça ne ferait pas une matrice diagonale...
je suis désolée de ne pas voir
merci...
Melle Papillon

bonjour

si,

pour les 4 premiers termes, d'après ce que tu as écrit :

1 0 -1/2  0
0 1  0  -3/2
0 0  3/2  0
0 0   0   5/2

c'est une matrice diagonale dans la base (1,X,X^2,X^3)

K.

bonjour, merci de vos intéresser à mon problème mais voulez vous dire que cette matrice est diagonalisable ? car pour moi ceci est une matrice triangulaire supérieure... est ce que je me trompe ?
Merci par avance

De plus il faudrait le prouver pour tout n... est là ça se gâte non ?
Merci

Melle papillon

toutes mes excuses, c'est une matrice triangulaire..

j'ai vu que tu as montré que pour tout n   L(Pn)=n(n+1)Pn

=> Pn vecteur propre associé à la valeur n(n+1).

donc sur Rn[X]  dans une base (P0,P1,..Pn) ( qui est une base de Rn[x] car pour tout k<n+1  deg(Pk)=k)

L peut s'écrire :  

0 0 0 ...0
0 2 0 ...0
0 0 6 ...0
0 0.......
0 0...   n(n+1)

=> c'est une matrice diagonale dans la base (P0,P1,..Pn)

K.

Jackpot, bravo  
Je n'y aurais pas pensé... Merci !

Auriez-vous aussi s'il vous plaît une idée pour ma famille orthogonale ?
Encore merci !


Melle Papillon

Auriez-vous aussi s'il vous plaît une idée pour ma famille orthogonale ?

puisque :

(L(Pn)|Pm)=(n(n+1)Pn|Pm)=n(n+1)(Pn|Pm)  ( car le produit scalaire est une forme bilinéaire)
de même (Pn|L(Pm))=m(m+1)(Pn|Pm)

or (L(Pn)|Pm)=(Pn|L(Pm))  <=>  ( m(m+1) - (n(n+1) ) (Pn|Pm) =0

vrai pour m différent de n donc (Pn|Pm) =0 => Pm orthogonale à Pn

K.

ah je vois , je n'aurais pas encore eu l'idée d'utiliser cette relation ( sur le DM c'est deux parties différentes et on ne pense pas toujours à utiliser les relations d'avant).merci pour l'astuce

je voulais savoir si avec des familles orthonagonales comme celle ci on pouvait trouver un lien avec la dérivée car je dois montrer que
Je pensais utiliser la linéarité du produit scalaire et donc on
mais je n'ai pas de relation , enfin je crois entre ma dérivée et Pn
merci d'avance pour votre aide
Melle Papillon

utiliser la BILINEARITé du produit scalaire et ici celle de la première place pardon, et j'ai oublié les parenthèses, je suis désolée

je n'ai pas dit que (Pn|Pn) =0

et je pense que

on recherche une relation entre P'n+1 et Pn est-ce cela ?

K.

Oui, .
Je pense qu'il faudrait trouver une relation entre et pour pouvoir utiliser le fait que la famille est orthogonale.
Je ne vois pas...

Merci en tout cas,

Melle Papillon

mais n'ai-je pas montré que pour tout

que (Pn |Pm) =0

donc la famille (P0,...Pn) est orthogonale.

K.

Oui, c'est exact.
Mais n'est pas relié à donc ne permet pas forcément de montrer que .

Melle Papillon

Dans ton DM, as-tu trouvé une relation entre P'n+1 et les Pk avec k<n+1 ?

K.

Non, je n'en ai pas
Mais il nous est dit d'utiliser la question 1 qui correspond à et que la famille est orthogonale.

qu'est-ce an ?

K.

je pense que tu dois montrer que le degré de Qn=P'n+1 - (n+1)(an+1)Pn/an

deg(Qn) < n

car si tu arrives à démontrer cela, alors

or (Pn |Pk) =0  pour k<n

et tu auras réussi à déduire le résultat demandé.

K.

est le coefficient dominant de . J'ai montré que

Merci bien de t'investir autant,
le problème c'est que Pn est de degré n et donc non de degré infierieur strictement à n mais c'est une bonne idée que de vouloir l'écrire dans cette base...
je crois que j'ai trouvé!c'est bon!
je viens de vérifier, cela annule le coeffcient dominé, bien vu!
donc tout marche
et bien là je vous dis encore une fois bravo et bon après midi

je t'en prie,

pour une fois j'ai réussi à t'aider..

K.

Bonsoir,

  Je suis à nouveau bloquée sur une question un peu plus loin... désolée de vous déranger encore un petit peu

  Je dois montrer que . On me donne l'indication suivante :

Merci d'avance pour votre aide,

Melle Papillon

Bonsoir,

as-tu essayer de dériver (n+1) fois XUn

en commençant la dérivation  on trouve   (1)

or pour p>1

(1) devient  

c'est une idée qui me passe par la tête, je ne sais pas si cela t'aide..

K.

Merci !
Je n'avais dérivé qu'à (n-1) en fait...

Bonne soirée,

Melle Papillon