Il s'agit de : aire = |AB ^ AC|/2

Définition : le produit vectoriel U ^ V est un vecteur W dont le module est égal à l'aire du parallélogramme construit sur U et V ......

...

Je ne peux pas tout écrire ici (pas assez de symboles) mais le produit vectoriel est un vecteur orthogonal au plan contenant les deux vecteurs dont on fait le produit vectoriel.

N = Norme

PV(U,V)=N()*N()*Sin(,)

Si et sont contenus dans le plan (o,,) par exemple.

Et l'aire du triangle de cotés N() N()

= 0,5 * N(PV(,)), ce qui est normal étant donné la définition du PV à cause du produit de N() par le Sin(,) qui donne la hauteur!

avant de commencer il faut savoir bien que le produit vectoriel est un vecteur : u vectoriel v = w sssi :
   - w orthogonal a u et à v
   - la base (u,v,w) est une base directe
   - norme : symbole [ ] : [w] = [u]*[v]* (valeur absolue de sin(u^v) )
remarque : le produit vectoriel est un vecteur alors que le produit scalaire et le produit mixte son des réelles

on peut maintenant commencer à donne et explique l'aire d'un triangle :
soit le triangle ABC: *A(ABC)= 1/2 *(Base * Hauteur )= 1/2 *(BC * AH ) = 1/2 *(AC * BH) = 1/2 *(AB * CH )
                                >Avec AH,BH et CH  sont les hauteur de ABC
                                > On applique cette régle , la plus part , que lorsqu'on a les dimension
                                  exemple : ABC est equilatéral de coté a --> A(ABC) = 1/2 (BC * AH) :
                                              . BC = a
                                              . AH = Hauteur : Comme le triangle est equilatéral alors
                                                               la hauteur = √3/2 * a
                                            ---> Alors A(ABC) = 1/2 * a √3/2 * a = √3/4 a²  
                        *D'aprés la régle A(ABC) = 1/2 *(Base * Hauteur)
                          On prend l'exemple de A(ABC) = 1/2 *(BC * AH) or AH = d(A,(BC)) et on sais que
                          la distance d'un point A à une droite:AH=((vecteurAB)^(VecteurBC))/[NormedeBC]
                          avec (VecteurBC) comme un vecteur directeur de (BC)
                             ->Donc A(ABC) = 1/2 *(BC * AH)= 1/2 *(BC * d(A,(BC))=1/2 * (BC * (Norme  
                                        =1/2 * (BC * (Normede[(vecteurAB)^(VecteurBC)])/[NormedeBC])  
                           or [NormedeBC]=BC -> simplification par BC on obtient :
                          A(ABC) =  1/2 * (Normede[(vecteurAB)^(VecteurBC)])
                          cette régle contient des vecteurs , alors on l'applique ,la plus part , que
                          lorsqu'on on traivaille dans un repére orthonormé direct (car dans ce cas on
                          peut determiner les composants des vecteurs AB et BC , soit  AB(a,b,c) et
                          BC(x,y,z) et par suite : AB^BC =(b*z-y*c , -(a*z-c*x) , a*y-b*x )  )

EN CONCLUSION : A(ABC)= 1/2 *(Base * Hauteur ) = 1/2 1/2 * (Normede[(vecteurAB)^(VecteurAC)])


"Voir Aussi" : >Aire d'un parallelogramme ABCD: A(ABCD)= Base * Hauteur = ( 2 A(triangle) ) =
                                                        = Normede[(vecteurAB)^(VecteurAD)]
                >Volume d'un Prallélipipéde ABCDEFGH : V(ABCDEFGH)= A(ABCD) * AE
                                      = valeur absolue de ((vecteurAB^vecteurAD)scalaire (vecteurAE))
                >Volume d'un tetraédre ABCD : V(ABCD) = 1/3*(A(BCD) * AH) ;(avec AH est la hauteur)
                                            = 1/6 * ((vecteurAB^vecteurAC)scalaire(vecteurAD)  


** J'espére que tu as compris ce p'tit leçon , si tu n'es pas encore compris je prêt à vous  aider ***