tu n'es pas plus très loin...
c₁ = c₂ - r = 4000 - r et c₃ = c₂ + r = 4000 + r
or, c₁ + c₂ + c₃ = 12000
tu trouves ainsi r et puis c₁ et c₃
bon travail...

On plce le plus faible à 12% pendant 1 an, le plus fort à 6% pendant 32 mois, l'autre à 8% pendant 18 mois
Au capital le plus faible correspond l'intérêt le plus faible, l'intérêt le plus fort étant produit par le capital le plus fort
La somme des intérêts est de 1680€

Vérifier que les intérêts produits forment une progression géométrique

oups.. ce que je t'ai écrit ne t'avance pas à grand chose.
Après relecture, il me semble que tu peux choisir arbitrairement r, tu trouveras c₁ et c₃ à partir de la valeur de c₂.
A moins qu'il y ait une contrainte de plus dans l'énoncé qui m'aurait échappée.

Pas clair.

Savoir que la somme de 3 termes consécutifs d'une suite arithmétiques n'est pas suffisant pour trouver les 3 termes.


Seul c2 est fixé, en effet
c1 = c2-r et c3=c2+r
-> c1 + c2 + c3 = c2-r+c2+c2-r = 12000 -> 3c2 = 12000 -> c2 = 4000

Mais en prenant r = n'importe quoi, il y a donc une infinité de couple solution pour C1 et C3.

exemple:
C1 = 3000 et C3 = 5000
ou
C5 = 2000 et C3 = 6000
ou ...
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Pour que C1 et C3 soient déterminés, il faut imposer une condition supplémentaire.

ça ne me donne pas r

Il me semblait avoir été clair.

Pour trouver r, il FAUT une contrainte de plus que celle donnée dans l'énoncé.