Bonjour à tous,

J'ai quelque peu bloqué sur une question d'un exo de mon manuel de spé maths, qui porte sur une illustration du théorème de Dirichlet, à savoir que pour tout couple d'entiers a et b premiers entre eux, il existe une infinité de termes premiers dans la suite définie par u(n)=a*n+b

Il est question d'étudier le cas où a=4. On doit démontrer que dans le cas où b=3, il y a une infinité de termes premiers dans la suite...
Pour cela on considère le produit N de tous les nombres premiers de 2 à p un entier premier >2 fixé

On doit démontrer que N+1 admet un diviseur q premier qui est un terme de la suite, U(n)=4n+3. il est indiqué de raisonner par l'absurde modulo 4

Je vous propose d'évaluer mon travail...

Je note ici la congruence a=b mod n

On a N le produit des nombres premiers de 2 à p
Donc N=2 mod 4 ou N=0 mod 4

Or dans la décomposition en facteurs premiers de N, 2 n'apparaît qu'une seule fois donc N=2 mod 4

Ainsi, N+1=3 mod 4
De plus, 2 ne divise par N+1 car N+1=1 mod 2

On a N+1 supérieur à 3 donc admet  un plus petit diviseur premier, que je note q₁. On a :

N+1=q₁*q₂ avec q₁q₂

Et N+1=3 mod 4

Un nombre premier différent de 2 ne peut être congru qu'à 1 ou 3 modulo 4 (facilement démontrable avec les congruences)

Deux cas possibles pour q₁ :

Soit q₁ est congru à 3 mod 4, auquel cas c'est fini, on a notre q premier congru à 3 mod 4

Supposons q₁=1 mod 4

On a :
N+1=q₁q₂
Donc N+1=q₂ mod 4
Donc q₂=3 mod 4

q₂ est soit premier soit composé, si il est premier c'est fini, sinon q₂ admet un plus petit diviseur q₃
n=q₃*q₄...
On itère ce procédé, le nombre de diviseurs de N+1 étant fini, vu que N+1 est congru à 3 modulo 4 alors l'un de ses facteurs l'est, et dans un de ses facteurs un autre l'est, jusqu'à ce qu'il y en ait un qui soit et premier, et congru à 3 mod 4

Ce tel q existe donc... Voyez vous une contradiction ? Cela me semble un peu tiré par les cheveux

Merci d'avance pour vos conseils de mise en forme et votre correction