Inscription / Connexion Nouveau Sujet
progression arithmétiques
Bonjour,
Démontrez que , si a,b,c sont en progression arithmétique, alors b² +bc+c², c² +ac +a², a² + ab +b² le sont aussi.
On sait que 2b = a+c
Donc a² + ab +b² = b² +bc+c² + a² + ab +b²
je ne vois pas comment faire ensuite.
Suggestion:
2 (a² + ab +b² ) = 2a² + 2 ab + 2b² ???
Meri
Mamie
Démontrez que , si a,b,c sont en progression arithmétique, alors b² +bc+c², c² +ac +a², a² + ab +b² le sont aussi.
On sait que 2b = a+c
Donc 2( c² +ac +a²) = b² +bc+c² + a² + ab +b² rectification
je ne vois pas comment faire ensuite.
Suggestion:
2 (a² + ab +b² ) = 2a² + 2 ab + 2b² ???
bonjour fanfan56,
a, b, c en progression arithmétique ==> b= a+k et c = b+k
ou c=a + 2k
ensuite, dans chacune des expressions C = b² +bc+c², B = c² +ac +a², A = a² + ab +b², on peut remplacer b et c par leurs valeurs en fonction de a,
puis comparer B-A et C-B ...
Ca n'est sans doute pas ce quil y a de plus rapide ou de plus élégant, mais c'est une piste ..
Bonjour.
Autre façon. On a (0)
Les expressions ,
,
se mettent respectivement sous la forme
(1) ,
(2) ,
(3)
On calcule (1)-(2) puis (2)-(3) (utiliser identités remarquables et mises en facteurs) et on constate que, compte tenu de (0) ces quantités sont égales.
Bonjour,
Pour utiliser ta suggestion :
On sait que b = (a+c)/2 .
On veut démontrer A, B, C en progression arithmétique avec
A = b² +bc+c², B = c² +ac +a², C = a² + ab +b² .
On calcule A+C en remplaçant b par (a+c)/2 . On espère trouver 2B .
A+C = b² +bc+c² + a² + ab +b² = 2b² + b(a+c) + a² + c² = 2(a+c)²/4 + (a+c)(a+c)/2 + a² + c²
A+C = (a+c)²/2 + (a+c)²/2 + a² +c² = .... = 2c² + 2ac + 2a²
salut
pourquoi chercher midi à quatorze heures ?
a, b et c sont en progression arithmétique
u, v et w sont en progression arithmétique
x, y et z sont en progression arithmétique
sont en progression arithmétique
il suffit donc de calculer deux différences ... et de vérifier qu'elles sont égales ....
Je reprends dans l'ordre de l'énoncé:
b² + bc +c² , c² +ac +a², a² + ab + b²
Donc en suivant c-b = b-a je devrais obtenir:
a² + ab + b² - c² +ac +a² = c² +ac +a² - b² + bc +c²
Je ne vois comment soustraire ( dès qu'il y a des lettres, moi ça me pertube
)
bonjour fanfan56,
les parenthèses sont indispensables .. et tu ne dois pas mettre l'égalité tout de suite, tu veux montrer que c'est égal.
C = (b² +bc+c²), B = (c² +ac +a²), A = (a² + ab +b²)
on veut comparer B-A et C-B
B-A = (c² +ac +a²) - (a² + ab +b²) = ...
factorise cette expression
C-B = ...... - ........................ = ........
factorise..
Bonjour à tous,
chacun sa méthode je vois, peu différentes d'ailleurs, heureusement 
puisque a+c = 2b
on devrait trouver que (a²+ab+b²) + (b²+bc+c²) vaut le double de (a²+ac+c²)
pour cela on utilisera une factorisation utilisant
a+c=2b et son carré a²+2ac+c²=4b² pour le prouver
il faut réduire l'expression avant de factoriser !
je te fais la première :
B-A = (c² +ac +a²) - (a² + ab +b²) = c² + ac + a² - a² - ab - b²
= c² - b² + ac - ab
= (c-b)(c+b) + a( c-b)
= (c-b) ( a+b+c)
C-B = .......
et à la fin, souviens toi que (b-a) = (c-b)
vas y !
C-B = (b² +bc+c²) - (c² +ac +a² ) = b² + bc +c² - c² -ac -a²)
= b² -a² +bc -ac
= (b-a)(b+a) +c(b -a)
La dernière ligne m'échappe
non ...
salut
pourquoi chercher midi à quatorze heures ?
a, b et c sont en progression arithmétique
u, v et w sont en progression arithmétique
x, y et z sont en progression arithmétique
il suffit donc de calculer deux différences ... et de vérifier qu'elles sont égales ....
Je reprends dans l'ordre de l'énoncé:
pourquoi j'ai choisi cet ordre ?
parce que A, B et C sont dans le même ordre que a, b et c :
si on suppose a < b < c alors :
A < B car b < c
B < C car a < b
fanfan56, tu y es presque :
C-B = (b-a)(b+a) +c(b -a) = ??
en rouge, un facteur commun (b-a)
NB : carpediem, j'avais bien noté à 13:30
C = (b² +bc+c²), B = (c² +ac +a²), A = (a² + ab +b²) , il n'y a pas d'erreur, n'est ce pas ?
et on compare B-A et C-B ..
Annuler
connectez vous
Suites en terminale