Bonsoir.

Pour ta première question, j'ai choisi un contre exemple.

Soit E = R², considérons f et g définis par leurs matrices F et G :





Alors F² = 2F et G² = O, donc f et g ne sont pas des projecteurs et pourtant rg(f) = rg(g) = 1.

Pour la seconde question. J'appelle (R) la relation f + g = Id

x € Ker(f) ==> f(x) = 0 ==> g(x) = x (d'après (R)) ==> x € Im(g).

Donc : Ker(f) Im(g).

Mais, d'après ce que tu as écrit plus haut, rg(f) + rg(g) = n. Donc, dim(Im(f)) = n - dim(Im(g) = dim(Ker(g))

Donc : Ker(f) = Im(g) et, par symétrie, Ker(g) = Im(f)

Revenons à (R). En composant par f : f² + fg = g, donc :

pour tout x dans E, f²(x) + f[g(x)] = f(x).

Comme Im(g) = Ker(f), f[g(x)] = 0, donc, il reste : pour tout x € E, f²(x) = f(x) ou : f² = f.

f est un projecteur. Par symétrie, g est aussi un projecteur.

A plus RR.