Bonjour à tout le monde

On me propose l'exercice suivant : La somme de deux projecteuts PM et PN est un projecteur ssi PM 0 PN = 0.PM désigne l'opérateur de projection de l'espace de Hilbert H sur un sous vectoriel fermé M.

Voici ce que j'ait fait:
1) Supposons que P = PM + PN soit un projecteur. Alors P²=P.
   Or P²=(PM + PN)²= ( PM + PN)0(PM + PN) = PM² + PN 0 PM + PM 0 PN + PN²
                                          = PM + PN + PN 0 PM + PM 0 PN
                                          = P + PN0PM + PMOPN  (relation 1)
   Donc PM0PN + PNOPM=0
   On compose à gauche et à droite par PM. On a alors
        PM 0 PM 0 PN 0 PM + PM 0PN 0PM 0 PM =0
       cad PM 0 PN 0 PM + PM 0 PN 0 PM = 0 cad PM 0PN 0PM =0
   Si on recompose à droite par PM on a (PM 0 PN)²= 0 cad PM 0 PN =0
   Oui je sais il y a sûrement plus court mais je n'ai pas trouvé...

2) Supposons que PM 0 PN = 0 Dans ce cas 1 montre que P²=P. Comme P est
   auto adjoint car (PM + PN)*= PM* + PN* = PM + PN, on en déduit que P est
   une projection

3) Il reste à trouver sur quel sous- vectoriel l'opérateur P agit. C'est la
   que j'ai un problème.
   soit x dans H On a x= y + z avec y dans M et z dans l'orthogonal de M
                      x = t + q avec t dans N et q dans l'orthogonal de N
                       et ces deux décompositions sont uniques.
   alors P(x) = PM (x) + PN (x) = y + t avec y+ t dans M + N
   Je sais que si PN0PM=0 on a M orthogonal à N.
   Mais la somme M+N est un sous vectoriel (OK) fermé ? (j'ai vu l'an passé
   que la somme deux fermés n'est pas toujours un fermé il fallait que l'un
   des fermés soit compact.C'est mon point de bloquage je ne vois pas autre
   chose que M + N

merci à tous ceux qui me consacrecront un peu de leur précieux temps.