Correction

Citation :
Je dois montrer une chaîne d'équivalence, et j'aimerai savoir s'il est possible de montrer que :

sans considérer que p est un projecteur orthogonal.

Bonjour mousse42.

Si tu veux montrer 1 2 ... 51, sans considérer que p soit un projecteur orthogonal, il me semble que 2 3 est trivial.

Et ensuite tu passes à 3 4 etc.

C'est pour ça que l'on a différentes étapes, c'est pour éviter de montrer des trucs qui semblent impossible. Car effectivement, tu ne montreras jamais 3 2 sans hypothèse supplémentaires.

Salut jsvdb

Oui, tu as raison, mais ce qui me bloque c'est :

32

Tu le montreras via 3451

Erratum :

jsvdb @ 12-12-2018 à 19:29

tu ne montreras jamais 3 2 sans hypothèse supplémentaires. étapes intermédiaires

oui, ok je viens de comprendre

merci jsvdb et à bientôt

Dernère petite question :

A partir de ce résultat, on peut donc écrire que :



n'est-ce pas?

Oui, tout-à-fait ... c'est exactement ce que suggère la proposition.
Auquel cas, si u vérifie cette propriété, c'est que c'est en fait un projecteur orthogonal.
Et réciproquement, tous les projecteurs orthogonaux vérifient cette propriété.

bonsoir

la solution la plus simple est effectivement de montrer un cycle comme le suggère jsvdb

3 2 en deviendra alors une conséquence.

maintenant si tu veux montrer directement 32 cela se fait et c'est même amusant que l'inclusion du 3 donne l'autre inclusion et donc la 2 :

supposons 3 vraie et soit x(Im(p))

on a donc (x,p(x))=0 puisque p(x) Im(p)

par ailleurs

x-p(x) Im(Id-p) (Im(p))

donc (x-p(x) , p(x)) = 0

et donc 0 = (x,p(x)) - (p(x),p(x)) = 0 -  (p(x),p(x))

d'où (p(x),p(x))=0

d'où p(x) = 0

d'où x = x - p(x) Im(Id-p)

d'où l'inclusion réciproque et  (2)

merci matheuxmatou,

C'est justement cela qui me posait problème, c'est surprenant qu'une inclusion implique l'autre, d'où ma question à 20:12 qui montre que si n'est pas un projecteur alors

Les autres implications je les ai toutes montrées, et pour 32 j'ai passé mon après midi à chercher un contre-exemple en pensant qu'une coquille se serait glissée dans l'énoncé.

Je te remercie pour avoir proposer une preuve directe, je la regarde demain à tête reposée.

cela dit, dans ce genre de problème, le mieux est de montrer un "cycle" comme le dit jsvbd

Bonjour à tous.

L'énoncé proposé par mousse42 est faux. En effet, la propriété 5 nous dit que est un endomorphisme autoadjoint.  Il est donc faux que  5 1 car il existe des endomorphimes autoadjoints qui ne sont pas des projecteurs orthogonaux.

Par contre, les 4 premières propriétés sont bien équivalentes.

perroquet

tiens oui ! je ne m'étais penché que sur les 2 et 3 au regard de la question postée, mais tu as raison !

ne serait-ce qu'en prenant une homothétie (non identité évidemment).

Merci perroquet