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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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projection

Posté par
athos2000
19-05-23 à 21:51

Bonjour,

voici un exercice que j'essaie  de résoudre :

Soit :
E un espace affine de direction \vec{E}
p  un projecteur affine de E , projetant sur F parallèlement à \vec{G}
u \in \vec{E}
t_u  , la translation de vecteur u


a) soit  M \in E
calculer  (t_u\circ p)^2 (M) en fonction de p(M), \vec{p} et u
b) à quelle condition (t_u\circ p) est il un projecteur affine   ?

question a)
j'ai commencé en faisant
\overrightarrow{M(t_u\circ p)^2}
= \overrightarrow{M(p(M)+u)^2}
et là je ne sais pas comment faire , le carré me bloque..

question b)
(t_u\circ p)  est un projecteur affine s'il a un point fixe

Merci pour votre aide .

Posté par
AitOuglif
re : projection 20-05-23 à 12:34

Bonjour

-On a pour tout point M:
t_{\vec{u}}(M)=M+\vec{u}
- Une application affine f est une projection (on ne dit pas projecteur dans le ca affine il me semble) quand f^2=f
- Le noyau d'un projecteur sur le sous-espace machin parallèlement à truc (donc je parle du cas vectoriel) est le sous-espace truc.
Tu n'as pas besoin d'autre chose pour réponse à tes questions.

Posté par
AitOuglif
re : projection 20-05-23 à 12:43

Par contre, ce que tu as écrit n'a pas de sens...

Posté par
AitOuglif
re : projection 20-05-23 à 12:54

Ah oui, aussi savoir que :
p(M+\vec{u})=p(M)+\vec{p}(\vec{u}) (application affine...)

Posté par
athos2000
re : projection 20-05-23 à 17:21

Merci AitOuglif pour ces explications

d'après ce que j'ai compris :

question a):
Soit A un point de F,
On a pour tout point M:
p(M)= A +\vec{p}(\vec{AM})
donc
t_{\vec{u}}(p(M))=t_{\vec{u}}(A +\vec{p}(\vec{AM})) = A +\vec{p}(\vec{AM})+\vec{u} = p(M)+\vec{u}
là j'ai déterminé (t_u\circ p)
mais je ne comprends pas comment déterminer:
(t_u\circ p)^2 (M) en fonction de p(M), \vec{p} et \vec{u}

question b)
t_u\circ p est une projection si
(t_u\circ p)^2=t_u\circ p

Merci par avance pour votre aide.

Posté par
AitOuglif
re : projection 20-05-23 à 17:47

D'après ce que je t'ai dit, que vaut alors t_{\vec{u}}\circ p (p(M)+\vec{u})?
Pour la b, oui mais tu ne pourras pas aller plus loin avant d'en avoir fini avec a)...!

Posté par
athos2000
re : projection 22-05-23 à 07:26

Bonjour AitOuglif,

question a) (suite)

t_{\vec{u}}\circ p (p(M)+\vec{u}) =p (p(M)+\vec{u} )+\vec{u} = p\circ p(M) +\vec{p}(\vec{u})+ \vec{u} = p(M) +\vec{p}(\vec{u})+ \vec{u} car p est une projection affine

question b)
t_u\circ p est une projection si
(t_u\circ p)^2=t_u\circ p
soit si  \vec{p}(\vec{u}) = 0
soit si \vec{u}=0

Merci pour votre aide

Posté par
AitOuglif
re : projection 22-05-23 à 09:32

Lis ce que j'ai écrit ici:

AitOuglif @ 20-05-2023 à 12:34


- Le noyau d'un projecteur sur le sous-espace machin parallèlement à truc (donc je parle du cas vectoriel) est le sous-espace truc.


Donc ta dernière conclusion est fausse.

Posté par
athos2000
re : projection 22-05-23 à 12:51

Merci AitOuglif pour cette indication


Est-ce que ce que j'ai écrit  pour la question a) est correct?

question b) (j'ai corrigé la conclusion)
t_u\circ p est une projection si
(t_u\circ p)^2=t_u\circ p
soit si  \vec{p}(\vec{u}) = 0
soit si \vec{u} \in F

merci pour votre aide.

Posté par
AitOuglif
re : projection 22-05-23 à 21:21

Ce n'est pas le bon sous-espace...

Posté par
athos2000
re : projection 22-05-23 à 23:35

Merci AitOuglif
d'accord j'avais mal lu

AitOuglif @ 20-05-2023 à 12:34


- Le noyau d'un projecteur sur le sous-espace machin parallèlement à truc (donc je parle du cas vectoriel) est le sous-espace truc.



et comme
p  un projecteur affine de E , projetant sur F parallèlement à  \vec{G} d'après l'énoncé

donc  le noyau de p c'est \vec{G}

d'où:

question b)
t_u\circ p est une projection si
(t_u\circ p)^2=t_u\circ p
soit si \vec{p}(\vec{u}) = 0
soit si \vec{u} est colinéaire à \vec{G}

j'ai écrit "  soit si \vec{u} est colinéaire à \vec{G}",  est ce que c'est la bonne façon de dire que \vec{u} appartient  au sous espace engendré par \vec{G} ?

Posté par
AitOuglif
re : projection 23-05-23 à 09:02

Et pourquoi pas \vec{u} \in \vec{G} tout simplement? Et ta relation de colinéarité entre un vecteur et un sous-espace vectoriel n'est pas définie a priori. Et tu aurais des problèmes de transitivité d'autre part…Pour ta question de l'engendrement, pareil, as-tu des renseignements sur la dimension de \vec{G}? Parce qu'un sous-espace vectoriel engendré par un vecteur est de dimension….?



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