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Niveau école ingénieur
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Projection Affine

Posté par
Maesan
20-04-22 à 18:44

Bonjour et merci de me lire.
En fait j'ai un problème en géométrie affine.
Je noterai chaque fois les vecteurs en gras.


Soit E un espace affine et F et G deux sous espaces affines de direction supplémentaire dans ´[/b]E[/b]
. Décrire ´ F ∩ G.
J'ai pu le faire et je suis arrivée a la conclusion qu'il s'agit d'un point. S'il vous plait c'est ok?
1) Soit M un point de E. Montrer que le sous-espace affine passant par M et parallèle ` a G
rencontre F en un unique point note´ p(M).
Soit H ce sous espace affine alors H=M+[b]G  Ainsi, la Hest parallèle a G et comme G est supplémentaire a F alors même H est supplémentaire a F.Et donc HinterF se réduit a un point qu'on note p(M).Je sais pas si j'ai bien rédigé  [/b]
2) Montrer que l'application p est affine.
Réellement la question me gêne. Je suis un peu habituée a répondre a ces questions en définissant l'application linéaire associée .Mais la projection vectorielle je sais pas trop comment l'illustrer si ce n'est littéralement.
3) Déterminer les points fixes de ´ p.
Quand j'imagine la projection dans ma tête je me dis que l'ensemble des points invariants est la base de p. Mais comment je peux démontrer ca avec logique, c'est ce que je n'arrive pas a faire

4) Montrer que p ◦ p = p.
Ce qui me gêne pour l'exercice c'est que généralement on admet toutes ces demonstrations, dans mon cas en tout cas De quoi je pourrai partir pour montrer que  p ◦ p = p...

Merci beaucoup pour l'aide

Posté par
Maesan
re : Projection Affine 20-04-22 à 18:46

Je me suis emballee avec les balises au niveau du 1) je voulais ecrire H=M+G

Posté par
carpediem
re : Projection Affine 20-04-22 à 19:58

salut

il faut plutôt que tu le voies comme la projection sur F parallèlement à G ...

en notant G* l'espace vectoriel associée à l'espace affine G ...

alors H = M + G*  et  H* = G*

donc H* et F* sont supplémentaires et d'après 1/ H F = un point qui est p(M)

voir ici pour les applications affines ...

Posté par
carpediem
re : Projection Affine 20-04-22 à 20:03

et en notant O le point d'intersection de F et G montre que p(O) = O

ensuite tu auras alors \vec {p(O)p(M)} = \vec {Op(M)} = p^*({\vec {OM}) où p* est la projection vectorielle associée à la projection affine p

Posté par
Maesan
re : Projection Affine 20-04-22 à 20:11

Vous voulez dire en notant O le point d'intersection de H et G?

Posté par
Maesan
re : Projection Affine 20-04-22 à 20:15

La j'invoque déjà la question suivante concernant les points fixes quand on parle o=p(o)
Et ce point fixe est il forcément unique?

carpediem @ 20-04-2022 à 20:03



ensuite tu auras alors \vec {p(O)p(M)} = \vec {Op(M)} = p^*({\vec {OM}) où p* est la projection vectorielle associée à la projection affine p

et la c'est suffisant pour dire que p est affine?

Posté par
carpediem
re : Projection Affine 20-04-22 à 20:15

non de F et G ...

alors p(M) est l'intersection de H et F

Posté par
Maesan
re : Projection Affine 20-04-22 à 20:23

Je suis désolée je ne comprends pas pourquoi...

Posté par
Maesan
re : Projection Affine 21-04-22 à 06:20

??

Posté par
carpediem
re : Projection Affine 21-04-22 à 13:46

p(M) est l'intersection de H et F comme l'est un certain point O avec G et F ...



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