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Niveau Licence Maths 1e ann
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Projection orthogonal dans un espace euclidien

Posté par
Kana54
28-11-10 à 14:24

Bonjour ma question est simple, pourquoi le projecteur d'une matrice A sur Sn (l'ensemble des matrices symétrique) est : (transposé de A + A )/ 2
Comment détermine t'on de manière générale un projecteur d'un vecteur x sur un sous espace F ?

Posté par
raymond Correcteur
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 14:30

Bonjour.

Dans l'exemple que tu proproses, la réponse est simple.

3$\textrm M_n(IR) = S_n(IR) \bigoplus \ A_n(IR)

Où Sn(IR) est le sev des matrices symétriques et An(IR) le sev des matrices antisymétriques.

La décomposition associée est :

3$\textrm A = \fra{1}{2}(A+^tA) + \fra{1}{2}(A-^tA)

Posté par
Kana54
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 14:45

Et pourquoi ca fait de lui le projecteur orthogonal de A sur Sn, c'est là que j'ai un probleme ...

Posté par
raymond Correcteur
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 14:48

Effectue le produit scalaire d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.

Tu verras que les deux sev sont en somme directe orthogonale.

Posté par
Kana54
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 15:01

Donc pour trouver le projecteur orthogonal d'un vecteur x sur F, il faut trouver une decomposition de F et F orthogonal ?

Posté par
raymond Correcteur
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 16:03

Bien sûr.

Tu dois savoir que, pour tout projecteur p on a :

E = Im(p) Ker(p)

La décomposition étant x = p(x) + [x-p(x)]

Mais en plus, ici, ces deux sev sont orthogonaux pour le produit scalaire (M|N) = tr(tM.N)

Posté par
Kana54
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 16:23

Pouvez vous me donner un exercice dans ce style s'il vous plait que je sois sur d'avoir bien compris ?

Posté par
raymond Correcteur
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 17:02

E le IR-ev des fonctions [-1,1] IR continues muni du produit scalaire :

\textrm (f|g) = \Bigint_{-1}^1f(t)g(t)dt

P et I les sous-ensembles des fonctions paires, et impaires

Trouver le projeté orthogonal d'un élément quelconque de E sur P.

Posté par
Kana54
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 17:35

Alors d'abord j'exprime une fonction f sous la décomposition suivante

f(x) = (f(x)-f(-x))/2 +  (f(x)+f(-x))/2

Le premier terme appartient à I le deuxième à P

F = I + P

I inter P : f(-x)=f(x)
          f(-x)=-f(x)  => f(x)=0

Donc F= I somme direct P

Après je calcule <p(x),i(x)>=0 on fait un changement de variable dans l'intégrale u= -t et on obtient l'intégrale = - la même intégrale => <p(x),i(x)>=0
Donc F=I somme direct orthogonal P

Donc A ce moment là comment dois je justifier que le projecteur orthogonal d'une fonction g sur P est pr(g)= (g(x)+g(-x) )/2

Posté par
raymond Correcteur
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 17:53

Exactement.

Si on te demande le projeté orthogonal sur I, ce sera (f(x)-f(-x))/2

Posté par
Kana54
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 17:55

Merci beaucoup !!! Bonne soirée !

Posté par
raymond Correcteur
re : Projection orthogonal dans un espace euclidien 28-11-10 à 18:29

Bonne soirée également.



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