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Projection orthogonal dans un espace euclidien
Bonjour ma question est simple, pourquoi le projecteur d'une matrice A sur Sn (l'ensemble des matrices symétrique) est : (transposé de A + A )/ 2
Comment détermine t'on de manière générale un projecteur d'un vecteur x sur un sous espace F ?
Bonjour.
Dans l'exemple que tu proproses, la réponse est simple.
Où Sn(IR) est le sev des matrices symétriques et An(IR) le sev des matrices antisymétriques.
La décomposition associée est :
Effectue le produit scalaire d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
Tu verras que les deux sev sont en somme directe orthogonale.
Donc pour trouver le projecteur orthogonal d'un vecteur x sur F, il faut trouver une decomposition de F et F orthogonal ?
Bien sûr.
Tu dois savoir que, pour tout projecteur p on a :
E = Im(p) 
Ker(p)
La décomposition étant x = p(x) + [x-p(x)]
Mais en plus, ici, ces deux sev sont orthogonaux pour le produit scalaire (M|N) = tr(tM.N)
Pouvez vous me donner un exercice dans ce style s'il vous plait que je sois sur d'avoir bien compris ?
E le IR-ev des fonctions [-1,1] 
IR continues muni du produit scalaire :
P et I les sous-ensembles des fonctions paires, et impaires
Trouver le projeté orthogonal d'un élément quelconque de E sur P.
Alors d'abord j'exprime une fonction f sous la décomposition suivante
f(x) = (f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2
Le premier terme appartient à I le deuxième à P
F = I + P
I inter P : f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x) => f(x)=0
Donc F= I somme direct P
Après je calcule <p(x),i(x)>=0 on fait un changement de variable dans l'intégrale u= -t et on obtient l'intégrale = - la même intégrale => <p(x),i(x)>=0
Donc F=I somme direct orthogonal P
Donc A ce moment là comment dois je justifier que le projecteur orthogonal d'une fonction g sur P est pr(g)= (g(x)+g(-x) )/2
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