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Projection orthogonal de Droite sur un Plan
Bonjour, voila mon exercice :
On suppose l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O,i,j,k). Soit la droite D : ( x + y + z = 1 ) ; ( x - 2y - z = 0 )
Et le plan P : x - y + z = 2 .
Déterminer l'image de la projection orthogonale de D sur le plan P.
Je ne suis pas sur de ma démarche.
Comment puis-je trouver cette droite D'?
J'ai commencer par chercher 2 points A et B de D ainsi que leur projeter A' et B' sur le plan P.
Faut-il faire le vecteur A'B' pour trouver le vecteur directeur de la droite projeté D' ?
On aurait alors l'équation paramétrique de D' tel que :
x = xA + xA'B' t
y= yA + yA'B' t
z = zA + zA'B'
Est-ce correct ?
Merci
Je ne comprends pas bien ton idée.
Une méthode consisterait à écrire l'équation de la famille de plans passant par la droite D, de déterminer lequel de ces plans est orthogonal au plan P, et de chercher l'intersection de ce plan et du plan P.
Bonjour, il faudrait alors que je teste l'horthogonalité de chaque plan de D avec P si j'ai bien compris ?
Bonjour Serge314,
si ton idée de départ était que la projection de la droite D est la droite A'B' c'était aussi une bonne idée.
Bonjour verdurin, oui c'était cela, cependant quand j'ai tenté de vérifier en faisant la colinéarité, ça n'était pas égal au vecteur nul ..
bonne idée oui, mais avec des erreurs
x = xA' + xA'B' t
y= yA' + yA'B' t
z = zA' + zA'B' t
à mon avis, non ?
On a : la droite
et le plan
Vecteur directeur de D :
AB = ( 1 , 1, 1 ) ∧ ( 1, -2, -1 ) = ( 1, 2, -3 )
ainsi
A 
D , A = ( 0, -1 , 2 )
B D , B = ( 1, 1, -1)
Vecteur directeur de D' :
Pour trouver A' :
D'où : A' D' , A' = ( 5/14 , 1/14 , 19/7 )
avec la même méthode pour trouver B':
B' D' , B' = ( 9/7 , 13/7 , -3/7 )
D'où A'B' ( 13/14 , 25/14 , -22/7 )
Cependant, AB ∧ A'B' = ( -13/14 , 5/14 , -1/14 ) ...
AHH, oui je viens de m'en apercevoir ! Merci de m'avoir fait remarqué, l'équation de P est bien la 2eme, l'équation que j'ai donné dans mon 1er post n'est pas bon... Désolé
On ne sait pas : tu as donné deux équation pour le plan P.
[. . .] Soit la droite D : ( x + y + z = 1 ) ; ( x - 2y - z = 0 )
Et le plan P : x - y + z = 2 .
[ . . . ]
Salut,
P : x + 3y +2z = 6
Comme tu connais le produit vectoriel, il y a une méthode simple pour trouver un vecteur directeur de la projection D' de D sur P.
Je note v un vecteur directeur de D et h un vecteur (non nul ) orthogonal à P.
(v
h)h est un vecteur directeur de D'.
Et on trouve bien un vecteur colinéaire à celui que tu calculas.
@alb12 heureusement, je vérifierai mieux la prochaine fois 
@verdurin, oui, je m'étais trompé d'équation dans mon premier post ... Je n'avais pas vu cette méthode elle est bien plus direct que les autres méthodes!
Cependant il doit y avoir un souci dans mon calcul car mot que je calcul ce n'est pas colinéaires :
(AB ∧ (1,3,2))∧(1,3,2)
=(13,-5,1)∧(1,3,2)
=(-13,-25,44)
Et (1,2,-3)∧(-13,-25,44)=(13,-5,1)
0
La droite D et sa projection orthogonale sur P n'ont aucune raison pour être parallèles.
Le seul cas où elles le sont est quand D est parallèle à P. Et ce n'est manifestement pas le cas ici.
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