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Niveau Maths sup
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projection orthogonale

Posté par Mandine (invité) 15-12-05 à 20:03

bonjour, j'ai besoin d'aide pour trouver la matrice de la projection orthogonale sur le plan d'équation x+2y-z=0 dans R^3 merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateur
re : projection orthogonale 15-12-05 à 21:01

Bonsoir Mandine

Tout d'abord on doit déterminer une famille orthonormée de vecteurs engendrant ce plan.
Si on ne voit pas tout de suite les vecteurs, je te conseille cette petite astuce. Tout d'abord, détermine une famille de 2 vecteurs de norme 1 engendrant ce plan (pas forcément orthonormée). on la note (u,v).
si cette famille n'est pas déjà orthogonale dans le cas contraire, pose e_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(u+v) et e_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(u-v).
On verifie assez facilement que ces deux vecteurs forment une famille orthonormée qui engendre encore le plan d'équation x+2y-z=0.
Enfin, on pose e3=e1^e2.
Ainsi, (e1,e2,e3) est une base orthonormée de 3. Dans cette base, la matrice de la projection est diag(1,1,0).
En notant P la matrice de passage de la base canonique à la base orthonormée décrite ci-dessus, on a P^{-1}=^{t}P car P est une matrice orthogonale et la matrice de la projection est M=P*diag(1,1,0)^{t}P (si je ne me trompe pas).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : projection orthogonale 15-12-05 à 21:02

Bien sûr, je voulais écrire M=Pdiag(1,1,0)^{t}P

Posté par Mandine (invité)re : projection orthogonale 15-12-05 à 21:05

merci

Posté par
kaiser Moderateur
re : projection orthogonale 15-12-05 à 21:12

Je t'en prie !



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