Prend u dans le noyau de p et v dans l'image de p, tu veux montrer que u et v sont orthogonoaux.
Prend t un réel quelconque et calcule |p(u+tv)|^2-|u+tv|^2, ceci doit toujours etre négatif...

Merci pour votre réponse.

Avec l'hypothèse pour tout x de E ||p(x)|| ||x||
Soit u appartement à Ker(p) et v dans Im(p)

p(u+tv)= p(u) + t.p(v)  = t.p(v) = t.v

||t.v||^2  =  ||p(u+tv)||^2   ||(u + t.v)||^2   =  ||u||^2 + 2t.<u|v> + t^2 ||v||^2

||p(u+tv)||^2 -  ||(u + t.v)||^2   0  est équivalent à

( ||u||^2 + 2t.<u|v> )   0

Je suis bloqué. Je ne vois absolument pas comment arriver à <u|v> = 0 (j'imagine que c'est ça l'objectif )
Je ne vois pas l'intérêt du réel quelquonque "t".

Ben tu penses que cette condition

peut etre satisfaite pour tout t si (u,v) est non nul?

Ok je comprends ce que tu veux dire mais pour autant je ne vois toujours pas comment on pense à introduire le "t" Surtout que  toute la démonstration repose sur ce "pour tout t".

Et malgré la preuve de cette équivalence je n'arrive pas à véritablement  comprendre le théorème. C'est l'équivalence qui me derange.
Ce théorème il dit que la projection orthogonale réduis la longueur du vecteur
Mais pour autant sur mon schéma, ce n'est pas une projection orthogonale mais une simple projection et pourtant la projection réduis la longueur du vecteur x.

Reprend ton dessin original, tu ne devrais pas avoir de mal à trouver un x qui va etre agrandi par la projection (par exemple un x à gauche de la droite G est formant une angle faible avec F).

Aaaaaaaaaaahhh ok ! Merci beaucoup pour cet éclaircissement . Le "pour tout t" permet de tester tous les vecteurs. Du coup on aurait très bien pu prendre tu+v egalement mais il y aurait eu un terme en t^2. J'imagine qu'avec l'étude du discriminant on aboutirait à <u|v>=0
Alors  ker(p) inclus dans   l'orthogonal de Im(p )
Et comme ker(p) et l'orthogonal de im(p) sont deux supplémentaires de im(p) ils ont même dimension du coup ker(p) = orthogonal de de Im(p)

donc p est une projection orthogonale.

Merci énormément

   " montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si ||p(x)||   x  pour tout x " n'est pas clair  du tout
.
Admettons que ce soit  " montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si ||p(x)||   ||x||   pour tout x "

Il est facile de montrer  la directe .
Mais la réciproque ne peut être  "  si pour tout x on a : ||p(x)||   ||x||   alors p est une projection  orthogonale  " .

Ben non, ce qu'on prouve c'est la chose suivante:
Soit p un projecteur d'un espace euclidien, alors p est une projection orthogonale ssi pour tout x de E, |p(x)| est majoré par |x|.

Dans la réciproque  on ne dit pas où on prend  p , (qui  d'ailleurs n'est pas présenté ).

Il doit bien  exister quelques u : E     [0 , 1]  ,     pour lesquelles l'application  f_u : x u(x).x  n'est  pas linéaire .

???
L'énoncé tel que posté dans le premier message est imprécis certes, mais il est facile de lire entre les lignes quel est le bon énoncé, je l'ai donné là