Bonjour Djeffrey,

poses . Ensuite par definition de la borne inferieure il existe une suite telle que  .

Si tu montres que est de Cauchy alors tu as gagné car muni de cette norme est complet donc sera convergente et comme C est fermé sa limite sera donc dans C et realisera le minimum.

Pour montrer que est de Cauchy il faut utiliser l'identité du parallelogramme si je me souviens bien. Je te laisse le faire si tu trouves pas j'essaierais de retrouver ca.

Bonjour Djeffrey et Cauchy;
Existence de :
Soit et soit tel que ( désigant la boule fermée de centre et de rayon )
Notons alors (partie foncée du dessin) et remarquons que c'est un compact non vide (fermé borné de ).
Considérons alors l'application qui étant continue atteint sa borne inférieure c'est à dire et comme on voit qu'on a en fait
Unicité de :
Supposons qu'il existe dans un second point tel que et notons (c'est le milieu du sgment et par conséquent on a par convéxité)
L'identité de la médiane donne alors:
et donc que ce qui est absurde par définition de

Bien joue elhor je voulais faire une demo qui marche dans le cas ou E est un Hilbert quelconque mais c'est vrai qu'ici comme on est en dimension finie ta methode est beaucoup plus rapide.