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Niveau seconde
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Projections orthogonales et configurations

Posté par
AITo
02-12-21 à 21:36

Bonsoir, voici un problème dans un triangle que je n'arrive pas à démontrer,

Voici l'énoncé,

Soit ABC un triangle équilatéral. M est un point intérieur au triangle ABC. On appelle I le projeté orthogonal de M sur [BC], J l e projeté orthogonal de M sur [AC] et K le projeté orthogonal de M sur [AB].
On veut démontrer que dans ce triangle équilatéral la somme des longueurs d'un point M intérieur au triangle à ses projetés orthogonzux sur les côtés du triangle est proportionnelle à la somme des aires desd triangles AMB, AMC et BMC.
Si a est la longueur des côtés de ce triangle le coefficient de proportionnalité est  \frac{a}{2}.
Si h est la distance d'un sommet au pied de la hauteur issue de ce sommet alors h = MI+MJ+MK.

1) Démontrer que MI+MJ+MK est proportionnelle à la somme des aires des triangles AMB, AMC et BMC.

2) Démontrer que h = MI+MJ+MK

Je n'ai pas bien compris la phrase surligné en bleu.

Pour la 1), j'ai utilisé :

Comme Aire = \frac{Hauteur*Base}{2}
Et AB = AC = BC

AireAMB = \frac{KM*AB}{2}
AireAMC = \frac{MJ*AB}{2}
AireBMC = \frac{MI*AB}{2}
Donc,
MJ = \frac{2AireAMC}{AB}
KM = \frac{2AireAMB}{AB}
MI = \frac{2AireAMB}{AB}
Donc MI+KM+MJ = \frac{2*MI*AB/2}{AB} + \frac{2*KM*AB/2}{AB} + \frac{2*MJ*AB/2}{AB}
Ainsi MI+KM+MJ = AireAMC+AireAMB+AireBMC

En revanche je n'arrive pas à démontrer la 2)

Merci de votre aide

Posté par
Leile
re : Projections orthogonales et configurations 02-12-21 à 23:41

bonsoir,

tu commences bien avec les aires des 3 triangles.
si le triangle a pour coté   a
alors   aire AMB= MK*a/2
aire AMC= MJ*a/2
aire CMB= MI*a/2

on est d'accord, mais ensuite, tu tournes un peu en rond et ta conclusion est fausse.

écris la somme des aires, et factorise,
tu verras alors que
somme des aires =  a/2 (MI + MJ + MK)
ainsi, tu vois que le coefficient de proportionnalité est a/2

question 2 :
h : hauteur
quelle est alors l'aire du triangle ABC ?

Posté par
AITo
re : Projections orthogonales et configurations 03-12-21 à 07:26

Merci de ta réponse,
En effet je me rends compte que ma première conclusion n'avais  pas beaucoup de sens

Donc si je factorise je trouve en effet :
aire AMB + aire AMC + aire BMC = a/2(MI+MJ+MK)

Et aire ABC =h (a/2)
Or aire ABC = Somme des aires
Donc h(a/2) = a/2(MI+MJ+MK)
Donc h = MI+MJ+MK

C'est bien ça ?

Posté par
Leile
re : Projections orthogonales et configurations 03-12-21 à 12:13

oui, c'est ça !
tu as d'autres questions ?

Posté par
AITo
re : Projections orthogonales et configurations 03-12-21 à 20:19

Non c'est parfait, merci pour ton aide

Posté par
Leile
re : Projections orthogonales et configurations 03-12-21 à 20:21

je t'en prie



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