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Projections orthogonales et configurations
Bonsoir, voici un problème dans un triangle que je n'arrive pas à démontrer,
Voici l'énoncé,
Soit ABC un triangle équilatéral. M est un point intérieur au triangle ABC. On appelle I le projeté orthogonal de M sur [BC], J l e projeté orthogonal de M sur [AC] et K le projeté orthogonal de M sur [AB].
On veut démontrer que dans ce triangle équilatéral la somme des longueurs d'un point M intérieur au triangle à ses projetés orthogonzux sur les côtés du triangle est proportionnelle à la somme des aires desd triangles AMB, AMC et BMC.
Si a est la longueur des côtés de ce triangle le coefficient de proportionnalité est .
Si h est la distance d'un sommet au pied de la hauteur issue de ce sommet alors h = MI+MJ+MK.
1) Démontrer que MI+MJ+MK est proportionnelle à la somme des aires des triangles AMB, AMC et BMC.
2) Démontrer que h = MI+MJ+MK
Je n'ai pas bien compris la phrase surligné en bleu.
Pour la 1), j'ai utilisé :
Comme Aire =
Et AB = AC = BC
AireAMB =
AireAMC =
AireBMC =
Donc,
MJ =
KM =
MI =
Donc MI+KM+MJ = +
+
Ainsi MI+KM+MJ = AireAMC+AireAMB+AireBMC
En revanche je n'arrive pas à démontrer la 2)
Merci de votre aide
bonsoir,
tu commences bien avec les aires des 3 triangles.
si le triangle a pour coté a
alors aire AMB= MK*a/2
aire AMC= MJ*a/2
aire CMB= MI*a/2
on est d'accord, mais ensuite, tu tournes un peu en rond et ta conclusion est fausse.
écris la somme des aires, et factorise,
tu verras alors que
somme des aires = a/2 (MI + MJ + MK)
ainsi, tu vois que le coefficient de proportionnalité est a/2
question 2 :
h : hauteur
quelle est alors l'aire du triangle ABC ?
Merci de ta réponse,
En effet je me rends compte que ma première conclusion n'avais pas beaucoup de sens 
Donc si je factorise je trouve en effet :
aire AMB + aire AMC + aire BMC = a/2(MI+MJ+MK)
Et aire ABC =h (a/2)
Or aire ABC = Somme des aires
Donc h(a/2) = a/2(MI+MJ+MK)
Donc h = MI+MJ+MK
C'est bien ça ?
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