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PROP 2 : R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie
Bonjour, voici La proposition 2 !
Enoncé :
1) Montrer que n'est pas un espace vectoriel de dimension finie sur
.
2) Soit une racine réelle d'un polynôme
de
irréductible sur
de degré
et soit
le plus grand élément de
. Montrer que
.
3) Si est une valeur approchée rationnelle à
près de
, montrer qu'il existe un réel strictement positif
qui ne dépend que de
, tel que :
4) Soit le réel
. Démontrer que la famille
est libre dans le
-espace vectoriel
.
5) En déduire que la dimension de sur le corps
est infinie.
Bonne Reflexion ! 
Est ce que la question 1 ne permet pas de conclure directement quant à la question 5 ?? Ce qui régle la question...
Je comprends pas l'interet de ta question 5...
ah oui ! désolé :
le 1) n'existe pas, c'est en fait le but de l'exercice; les questions commencent à partir de 2) 
Pour le 3) qui est LA question difficile : utilises le théorème de Rolle ...et pense que tout entier non nul est plus grand que 1 . le reste est trivial qu'a tu fais ?
lolo217 : Je ne pose pas des exercices pour chercher de l'aide ! je les poste en fait pour que tout les mathiliens qui sont en supérieur en profitent (je suis prof. en fait)
Non mais il y a beaucoup plus simple pour prouver ce résultat si R était de dimension finie sur Q, il serait isomorphe à un certain Q^n, et donc dénombrable... Ce qui n'est pas le cas!!
cela dit l'exo est quand meme interssant notement la question 3 qui défnie ce qu'on appelle les nombres mal approchables et qui sont au coeur de pleins de problèmes (conjecture d'oppenheim conjecture de Littlewood...)
Indications :
pour la 2) : Raisonner par l'absurde .
pour la 3) : Utiliser le théorème des accroissements finis .
pour la 4) : Raisonner par l'absurde pour construire un polynôme vérifiant les hypothèses de 2) . Puis introduire une valeur approchée de
et appliquer le résultat de 3) .
je crois que cela va vous suffir
C'est vrai ce que dit Rodrigo : pas besoin de tout ce bazar pour montrer le résultat.
Je referais l'exo comme ça :
1) Montrer que R n'est pas un ev de dimension finie sur Q.
2) On se propose de construire une famille infinie de réels libre dans le Q-ev R.
a) ..
b) ..
Merci Panter, je m'y colle dès cet aprèm à 'te exo. Merci beaucoup.
Ah, un truc aussi: à chaque fois que tu crées une nouvelle proposition, il serait intéressant que tu postes un petit message dans la topic de la proposition précédente afin que nous soyons averti.
Ayoub.
Bon, je me lance.
1) Sans passer par l'absurde et dans le cas général.
\rm
Soit un poly de degré unitaire à coefficients dans C. Soit z une racine de ce polynôme.
Alors:
soit encore:
.
En passant au module et en utilisant l'inégalité triangulaire:
Et donc:
Si le résultat voulu est évident, sinon, on remarque dans (1) la somme des n premiers termes d'une suité géométrique:
puis
On conclut en remarquant que .
2) Assez trivial avec l'inégalité des accroissements finis, mais j'ai pas d'autre méthode. (on revient dans Z[X], sure). Donc, ben on y va:
qui est bien évidemment plus grand que 1/(q^n) puisque le numérateur est entier et ne s'annule pas (oui, p/q n'est pas racine puisque P est supposé irréductible sur Q[X]).
Le TAF donne alors:
Donc on a bien l'existence de K ne dépendant que de P tel que:
Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Liouville pour les approximations diophantiennes. Pour la remarque culturelle: Roth a démontré que "n" peut être remplacé par tout réel > 2.
3) J'y réflchis, j'y réfléchis...
Ayoub.
Merci Panter. Ne t'inquiète pas, je réflcéhis toujours à ton problème. J'ai déjà construit le poly, je cherchela contradicion maintenant.
T'aurais pas un autre indice pour faire apparaître l'absurdité. J'ai essayé par récurrence sur n mais ça a pas l'air de marcher.
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