Salut !


ce n'est pas trop compliqué : si A et B comute et que A est nilpotente, alors AB est nilpotente... applique cela avec A la première matrice et B le produity des n-1 restante....

tu rédiges alors !

oula, désole j'etais ailleur, oubliez mon message :p

Reprenons :


on a n matrice qui comute... donc elles sont co-trigonalisable.

elles sont nilpotente donc les coeficient diagonaux des formes triangulaire sont nul. on fait le produit dans la base de triangulation, et le produit de n matrice triangulaire supérieur dont les diagonal sont nul est nul.

Proposition 5 :
l'hypothèses de commutation ne sert à rien ici ! (sauf à tromper l'ennemi )

absoluement pas lolo... si elle ne comute pas le produit n'est meme pas forcement nilpotent.

Je n'ai jamais dis que le produit devait rester nilpotent mais la conclusion reste valable ! Same player play again  :D

en fait si bien sûr ça reste nilpotent !!

ba la matrice nul est nilpotente... si c'est pas nilpotent, a risque pas d'etre nul...

et le résultat est faut si les matrices comutent pas... suffit de regarder en dimension 2 avec deux matrices nilpotente a peu pres quelconque (... qui comute pas) pour avoir un contre exemple.

erratum j'ai mal lu l'énoncé

Croyez moi, ce n'est pas si simple que ca !

et en ce qui concerne la commutativité, elle n'est pas écrite pour rien !



_{Essayez de rédiger s'il vous plait ! -merci-}

le poste de 20:28 contiens la réponse.


ca utilise des choses classique, apres tu veut peut-etre que je les re-justifie apres ^^

Marrant en fait j'avais retenu bétement un résultat faux suite à une erreur que j'avais comise en décembre 2006 sur un autre site !!

Merci beaucoup à Panter d'avoir posé cet exo je serais moins bête ce soir (enfin je l'espère  ).

Voici une autre preuve SANS utiliser la réduction des matrices nilpotentes :

Si  u  et  v sont des endomorpshismes qui commutent alors Im(u) est stable par v . ceci étant, si  v  est nilpotent sa restriction à  Im(u) est non injective (car encore nilpotente , c'est là que la commutativité intervient pour dire que la restriction reste un endomorphisme !) .
Donc  rang(v°u) < rang(u)  et si on continue....on aboutit au rang 0 donc à l'endomorphsime nul .