Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

PROP 5 : Un système de Matrices à resoudre

Posté par
Panter Correcteur 25-09-07 à 21:39

Proposition 5 :

Résoudre dans 3$ \mathfrak{M}_2(\mathbb{R}) le système suivant d'inconnues 3$ A et 3$ B :

4$ \{{ABA=I_2\atop BAB=I_2}



Bonne Reflexion

Posté par
Ksilverre : PROP 5 : Un système de Matrices à resoudre 25-09-07 à 22:59

Salut !


A et B sont inversible (leur produit est inversible), et donc AB=A^(-1)=B^(-1)

donc A=B.

a partir de la on est ramené à l'équation A^3=I.

ie (A-I)*(A²+A+I)=0

A a un polynome anulateur de degré 2, sont A=I ou A²+A+I=0.

A=I est une solution.

A²+A+I signifie que A est semblable a la rotation d'angle 2*Pi/3 ie :

(-1/2  sqrt(3)/2 )
(-sqrt(3)/2 -1/2 )

et on peut pas en dire beaucoup plus.

Posté par
Panter Correcteurre : PROP 5 : Un système de Matrices à resoudre 26-09-07 à 18:57

LA CORRECTION :

D'après le système, 3$ A est inversible d'inverse 3$ BA, c'est-à-dire que le système est équivalent à :

4$ \{{A=B\atop A^3 = I_2}

Le polynôme 3$ X^3 - 1 est annulateur de 3$ A, les racines sont 3$ 1,j,j^2. Puis 3$ Sp(A) \subset \{1,j,j^2\} .

3$ \red A = I_2 est une solution, cherchons les autres solutions :

La matrice est réelle donc les seuls polynômes caractéristiques possibles de 3$ A sont 3$ (X-1)^2 et 3$ (X-j)(X-j^2) qui est égal à 3$ X^2+X+1.

Le théorème de Cayley-Hamilton assure respectivement dans chacun des cas : 3$ (A-I_2)^2 = 0 et 3$ A^2+A+I_2 = 0

Etudions le cas 3$ (A-I_2)^2 = 0. Notons 3$ N la matrice 3$ A-I_2.

Elle est nilpotente et commute avec 3$ I_2.

La formule du binôme de Newton donne : 3$ A^3 = (I_2+N)^3 = I_2+3N

Or 3$ A^3 = I_2 donc 3$ N=0 et 3$ A= I_2 .

En remplaçant dans le système, on trouve 3$ A=B=I_2 .

Dans le cas 3$ A^2+A+I_2 = 0, on trouve que toute matrice vérifiant cette équation convient, alors il suffit de chercher les matrices qui vérifient cette relation.

Le polynôme caractéristique est 3$ X^2+X+1 donc : 3$ Det(A)=1 et 3$ Tr(A)=-1

Alors les matrices cherchées sont de la forme 5$ \red \[\array{a&c\\b&-a-1\] avec 4$ a^2+bc+a+1=0


Fin

Posté par
1 Schumi 1re : PROP 5 : Un système de Matrices à resoudre 26-09-07 à 19:37

Salut tout le monde,

Panter >> Tu vas un peu trop vite pour les corrections. Des personnes comme moi n'arrivent sur le forum que dans la soirée: on a pu vraiment le temps de chercher... S'il te plaît laisse nous un peu plus de temps maintenant.


Ayoub.

Posté par
Ksilverre : PROP 5 : Un système de Matrices à resoudre 26-09-07 à 20:05

Tu te complique un peu la vie panter :

A anule un polynome: X^3-1, donc son polynome minimal divise X^3-1, c'est soit X-1 soit X²+X+1

tu te débarasse donc directement du cas ou le polynome charactéristique est (X-1)²

Posté par
jeansebre : PROP 5 : Un système de Matrices à resoudre 26-09-07 à 20:43

Bonsoir

Personnellement, je trouve la demo de Ksilver plus, ...comment dire...plus enlevée, quoi!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !