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propagation d une rumeur et équation différentielle
bonjour,
j'aimerais bien que vous me donniez un petit coup de main sur cet exercice que j'ai quelques difficultés à comprendre.
Une ville comprend 10 000 habitants.
A 8 h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle. On note y(t) la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l'instant t(exprimé en heures).
On choisit 8 heures comme instant initial t=0. La nouvelle se répand dans la ville de sorte que la vitesse de propagation y'(t) est proportionnelle à la fréquence de ceux qui ne connaissent pas la nouvelle et à la fréquence de ceux qui la connaissent.
On admet que le coefficient de proportionnalité est 1,15.
a. Montrer que la fonction y est la solution de l'équation différentielle : y'=1,15y(1-y) avec y(o)=0,01 et définie sur R+.
b. La fonction z est définie par z=1/y (y ne s'annule pas).
Prouver que z vérifie l'équation z'=-1,15z+1,15.En déduire l'expression de y(t).
c. étudier le sens de variation de la fonction y. Quelle est la limite de y en + infini?
d. Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi?
a) y(0)=0,01 = 100/10000
Ceux qui savent : y
Ceux qui ne savent pas : 1-y
y' proportionnelle à y et 1-y : y'=1,15*y*(1-y)
t part de 0 et croît positivement d'ou D= R+
b) z=1/y => z'=-y'/y2
soit z'= -1,15*y*(1-y)/y2
càd z'=-1,15 *(1/y)+1,15
conclusion : z'(t)=-1,15z(t)+1,15
soit encore : z'(t)=-1,15*(z(t)-1)
Si u(t)=z(t)-1 =>u'(t)=z'(t)
soit u'(t)=-1,15*u(t)
càd u(t)=ae-1,15t+b
soit z(t)=a*e-1,15t+b+1
avec z(0)=a+b+1=1/y(0) et z(+
)=1/y(+)=1
Alors , prenons b=0, alors a=99 => z(t)= 99*e-1,15t+1
et y(t)=1/z(t)=1/(99*e-1,15t+1)
càd y(t)=1/(99*(e-1,15t+1/99))
A toi pour la suite en espérant que je n'ai pas commis d'erreur dans l'intégration
Bon courage
Merci pour votre patience! J'espère que je n'aurais pas à revenir sur le forum!
jai suivi toute la démonstration de Revelli seulement pour la d on fait comment et la e je ne comprend pas comment faire >-< quelqu'un pourrait m'aider
j'ai trouver en limite en + linfini = 1 et limite en zéro= 100
donc une asymptote horizontale en 1 y=1
question d) combien de personnes connaissent la nouvelle a midi?
question e) en utilisant le graphique ou calculatrice donner une approximation de l'instant auquel 99% de la population connaitra la rumeur?
j'ai vraiment pas reussi celle la
merci d'avance
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