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Propriété algèbre (SVD)
Bonjour à la communauté,
Je cherche à démontrer une propriété.
Soit A, B deux matrices de taille (pxk)
Si A*A^t = B*B^t alors il existe une matrice orthogonale G de taille (kxk) telle que B = A*G.
On m'a indiqué qu'il fallait utiliser la décomposition en valeurs singulières. Cependant, rien à faire, je n'y arrive pas du tout.
Auriez-vous un point de départ ?
Merci d'avance
Bonjour,
Peut-être les éléments suivants peuvent vous aider :
propriété intéressante : A*At et B*Bt sont des matrices symétriques(les coefficients de la matrices sont donc symétriques par rapport à la diagonale).
A*At et B*Bt sont des matrices carrées de tailles kxk.
on pose SA=A*At et SB=B*Bt
SA et SB sont semi-définie positives
SA et SB ont le même rang donc sont équivalentes, donc il existe deux matrices inversibles P et Q telles :
SB=Q-1SAP
SA=QSBP-1
vérifier , mais je crois me souvenir que SB étant symétrique il existe une matrice orthogonale M. (À savoir de telle sorte que M t M = I ) Et une matrice diagonale D tel que :
D=M-1SB M=MtSB M
Bonjour,
Une piste pour le cas où est définie positive (ce qui équivaut à dire que
et
sont de rang
).
Il existe une matrice inversible de taille
telle que
.
Les lignes de et celles de
forment donc des familles orthonormales de
vecteurs de
, et en conséquence il existe une matrice orthogonale
de taille
telle que
.
Ce raisonnement peut s'adapter au cas où est seulement semi-définie positive. On peut utiliser dans ce cas un procédé d'orthogonalisation.
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