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Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéantinues

Posté par
toureissa
12-09-20 à 23:12

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide sur ces démonstrations.
On définit sur Lc(E,F) l'espace des applications linéaires continues de E dans F la norme suivante :  ||L||=sup\{||f(x)||_F\ x \in E , ||x||=1\}.

On a

1. ||L(x)||_F\leq ||L||||x||_E pour tout x

2. ||LoL'||\leq||L||||L'||

Preuve :

1. ||L(\frac{x}{||x||_E})||\leq||L|| ce qui donne le résultat.

2.  J'ai besoin de piste ici.

Posté par
Foxdevil
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 12-09-20 à 23:23

Bonsoir,

Des précisions sur L'?

Pour la 2), tu peux appliquer la 1) pour un x bien choisit

Posté par
toureissa
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 12-09-20 à 23:25

L' appartient à Lc(E,F) et L à Lc(F,G)

Posté par
Foxdevil
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 12-09-20 à 23:29

Ok....maintenant qu'on sait qui est quoi, il te suffit d'appliquer 1) comme je l'ai précisé

Posté par
toureissa
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 12-09-20 à 23:32

soit y de E, posons x=L'(y).
D'après  1. Ona pour tout y dans E,

||LoL'(y)||≤||L||||L(y)|| et donc

||LoL'||≤||L||||L'||.
C'est ça ?

Posté par
lionel52
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 12-09-20 à 23:40

Ok

Posté par
Foxdevil
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 13-09-20 à 00:13

toureissa @ 12-09-2020 à 23:32

soit y de E, posons x=L'(y).
D'après  1. Ona pour tout y dans E,

||LoL'(y)||≤||L||||L(y)|| et donc

||LoL'||≤||L||||L'||.
C'est ça ?
il ma.que une dernière étape dans ton inégalité.

La conclusion vient d'une autre caractérisation de la norme d'opérateurs en tant qu'inf des constantes lipschitziennes...

Posté par
toureissa
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 13-09-20 à 07:27

Bonjour,

Vous parlez de cette norme  N :

N(L)=sup_{x\neq 0} \frac{||L(x)||_F}{||x||_E} ?

Posté par
Foxdevil
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 13-09-20 à 15:01

toureissa @ 13-09-2020 à 07:27

Bonjour,

Vous parlez de cette norme  N :

N(L)=sup_{x\neq 0} \frac{||L(x)||_F}{||x||_E} ?
Oui c'est ça. Elle vaut aussi N(L) = \inf \{  C > 0  |  \forall x \in E, || L(x)||_F \le C || x||_E \}.

Posté par
toureissa
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 13-09-20 à 20:56

Je ne connais pas cette caractérisation dont vous parlez.

Posté par
Foxdevil
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 13-09-20 à 21:31

Ce n'est pas très difficile de montrer que les deux sont la même chose (par double inégalité).

Si tu veux faire sans, tu peux repartir d'ici:

||LoL'(y)|| \le ||L||||L'(y)||

Mais ensuite? Tu n'as pas encore fait apparaître le terme ||L||*||L'||...

Posté par
toureissa
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 13-09-20 à 23:34

Si cette inégalité est vrai pour tout y, alors en passant au sup on trouve le résultat. C'est ça ?

Posté par
Foxdevil
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 13-09-20 à 23:52

Oui.

Attention on applique deux fois 1) pour obtenir:

||LoL'(y)|| \le ||L||*||L'(y)|| \le ||L||*||L'||*||y||
Et on passe au sup

Posté par
toureissa
re : Propriété d'une norme sur l'espace des applications linéant 14-09-20 à 00:07

Merci beaucoup, j'ai très bien compris. C'est vraiment gentil de votre part. Merci encore  et Bonne nuit !



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