1)

y²=2px

F(p/2 ; 0)
D: x = -p/2

M(X ; V(2pX))  (Si M est sur la branche des y positifs)
H(-p/2 ; V(2pX))

y = V(2px) (branche des y positifs)

y' = V(2p)/(2Vx) = V(p/(2x))

y'(X) = V(p/(2X))

T: y - V(2pX) = (x - X).V(p/(2X))

T: y = x.V(p/(2X)) - X.V(p/(2X)) + V(2pX)

T: y = x.V(p/(2X)) - V(pX/2) + V(2pX)

T: y = x.V(p/(2X)) + V(pX/2)

Coeff directeur de (MF) = V(2pX) / (X - (p/2)) = 2V(2pX)/(2X-p)

Coeff directeur de (MH) : 0

Phi1 = Angle (HM , MH)

tg(Phi1) = 2V(2pX)/(2X-p)

Phi2 = angle(T ; axe des X)

tg(Phi2) = V(p/(2X))

tg.(2.Phi2) = 2.tg(Phi2)/(1-tg²(Phi2))

tg.(2.Phi2) = 2.V(p/(2X))/(1-(p/2X))

tg.(2.Phi2) = 4X.V(p/(2X))/(2X-p) = 4.V(pX/2)/(2X-p) = 4.V(2pX/4)/(2X-p) = 2.V(2pX)/(2X-p)

Et donc tg.(2.Phi2) = tg(Phi1)

Phi1 = 2.Phi2 (modulo Pi)

Et donc (T) est la bissectrice de (MF,MH)
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2)

Coeff directeur de (FH) = -V(2pX)/p = - V(2X/p)

Les perpendiculaires à (FH) ont donc un coeff directeur = V(p/2X)

Leur équation est de la forme: y = x.V(p/2X) + b

Celle qui passe par le milieu de [FH] de coordonnées (0 ; (1/2).V(2pX)), soit (0 ; V(pX/2) est telle que:

V(pX/2) = 0.V(p/(2X)) + b
b = V(pX/2)

L'équation de la médiatrice de [FH] est donc: y = x.V(p/(2X)) + V(pX/2)

Et c'est précisément l'équation de T. --> T est la médiatrice de [FH]
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Cela devient trop long pour moi ...

Il y a probablement plus direct.

Sauf distraction

merci de cette reponse. y aurait il qelqu'un qui pourrait m'aider pour la suite car la j'ai travailler dessus tout le week end et je doi  dire que je ne vois pas du tout comment faire. au moins me donner une ou deux idées directrices pour terminer cet exo!! merci d'avance pour votre aide!!!

3)

T: y = x.V(p/(2X)) + V(pX/2)

coeff angulaire des perpendiculaires à T: -V(2X/p)

Les perpendiculaires à T ont une équation de la forme: y = -x.V(2X/p) + K
Celle qui passe par F est telle que: 0 = -(p/2).V(2X/p) + K
K = (p/2).V(2X/p)
K = V(2p²X/(4p))
K = V(pX/2)

--> Son équation est  y = -x.V(2X/p) + V(pX/2)

Coordonnées du point P de rencontre de T avec cette droite, en résolvant le système:

y = -x.V(2X/p) + V(pX/2)
y = x.V(p/(2X)) + V(pX/2)

-x.V(2X/p) + V(pX/2) = V(p/(2X)) + V(pX/2)
-x.V(2X/p) = x.V(p/(2X))

--> x = 0
P(0 ; V(pX/2)) C'est le projeté orthogonal de F sur T.

Or l'équation de la tangente au sommet de la parabole a pour équation x = 0

Et Donc P appartient bien à la tangente au sommet de la parabole.
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Sauf distraction. Vérifie

bonjour,
pour le 2) si tu connais la définition géometrique de la parabole :ensemble des points du plan équidistants de F et de D =>le triangle FMH est isocèle de sommet principal M donc MT qui est bissectrice principale est aussi médiatrice de HF sinon tu utilises la démonstration de JP
je note K le milieu de HF c'est le projeté de F sur T
3)dans l'homothétie de centre F et de rapport 1/2 :    D a pour image la tangente au sommet,H est sur D son image K  est donc sur la tangente au sommet
4)équation de la tangente en M(x,y):
Y-y=(p/y)(X-x) avec y=2px
s est sur l'axe des abscisses donc Y=0=>X=(-2px+px)/p=-x  s(-x,0) m(x,0)=>s et m sont symétriques par rapport àO sur l'axe des abscisses O est le milieu de sm

Dans ma réponse précédente, il vaudrait mieux appeler Q le point que j'ai nommé P, pour éviter toute confusion avec la parabole P.


4)
m(X ; 0)

T: y = x.V(p/(2X)) + V(pX/2)
y = 0 --> x = -V(pX/2)/V(p/(2X)) = -X

Le milieu de [mS]  a pour coordonnées : ((X-X)/2 ; 0), soit (0 ; 0) qui sont aussi les coordonnées du sommet de la parabole

--> Le milieu de [mS] est aussi le sommet de la parabole (quelle que soit la position de M sur la parabole).
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Sauf distraction.  

5) le triangle sMN est rectangle en M,Mm est la hauteur relative à l'hypothénusedonc:Mm²=ms*mN=>mN=Mm²/ms=y²/(2x)
=2px/2x=p

ces démonstrations supposent que M n'est pas situé au sommet de la parabole c'est à dire que x est non nul

5)
Les perpendiculaires à T ont une équation de la forme: y = -x.V(2X/p) + K

Celle passant pat M(X ; V(2pX)) est telle que: V(2pX) = -X.V(2X/p) + K
K = V(2pX) + X.V(2X/p)

L'équation de la normale à la parabole en M a pour équation:
y = -x.V(2X/p) + V(2pX) + X.V(2X/p)

Son intersection avec l'axe focal a pour coordonnées N( (V(2pX) + X.V(2X/p))/V(2X/p) ;0)
Soit N(X+p;0)

Avec m(X ; 0), on trouve: |NM|² = (X+p-X)² + 0²
|NM| = p
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Sauf distraction.  

bonjour JP
dans ta démonstration analytique,tu simplifies par

bonjour,
désolée pour ce fragment de post mais hier soir plus rien ne marchait
ma démonstration pour la sous normale ne convient pas si M est au sommet
j'ai le rapport 2px/2x et je simplifie par x mais si M est au sommet le triangle que j'utilise n'existe plus la normale c'est l'axe focal donc son intersection avec l'axe focal?
dans ta methode analytique tu simplifies aussi par2X/p
il y a là queque chose qui m'ennuie

Salut veleda.

Si M est au sommet de la parabole, la normale à la parabole en M est l'axe focal...
Et donc dans cette situation, le point d'intersection de la normale et de la normale est indéterminé. (n'importe où sur l'axe focal)

J'avais aussi tiqué sur ce point en rédigeant ma solution et par paresse ne l'avais pas mentionné. (Si GTX en fait la remarque à son prof ... certains le prennent de haut (les idiots, mais ce sont les plus dangereux), alors ...)

La remarque vaut cependant le coup d'être faite ici.

rebonjour
GTX n'a peut être pas recopié exactement le texte,le point M est peut être supposé être non situé au sommet
si c'est valable au sommet le point N est le symetrique de O par rapport au foyer ?je vais aller rechercher mes vieux bouquins de géométrie