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Propriété de matrice

Posté par
Naya74 17-11-17 à 14:10

Bonjour,
J'ai une question rapide à répondre (j'espère) mais j'ai un petit doute :
Soient A et B deux matrices 2x2 ()

AB=BA
B = A-1
Donc AB = BA = I (matrice identité)

Est ce que mon implication est correcte ? Ou il existe des cas où AB = BA sans pour autant que B soit l'inverse de A ?
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
jsvdbre : Propriété de matrice 17-11-17 à 14:14

Bonjour Naya74.
Tout à fait : il existe des couples de matrices non nulles et non inversibles qui vérifient AB = BA.

Posté par
verdurinre : Propriété de matrice 17-11-17 à 14:16

Bonjour,
\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&0\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}

Posté par
etniopalre : Propriété de matrice 17-11-17 à 14:16

il existe des cas où AB = BA sans pour autant que B soit l'inverse de A
Tu peux en trouver plein tout seul .

Posté par
etniopalre : Propriété de matrice 17-11-17 à 14:23

Autre exemple A = B = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 17-11-17 à 14:34

Merci pour vos réponses, peut être pouvez vous m'aider dans ce cas :
Je bloque sur un exercice :
Posons B= \begin{bmatrix} 1&2 \\0& 4\end{bmatrix}
Et définissons f:M2x2()M2x2()
Par f(A) = AB - BA
Trouvez une base pour Ker(f) (le noyau).

Alors, pour trouver une base du noyau je dois résoudre
f(A) = 0
AB-BA = 0
AB = BA

Seulement après ce que vous m'avez dit, je ne sais pas du tout quelles condition j'ai sur ma matrice A pour que cela soit vrai..

Merci d'avance.

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 17-11-17 à 14:36

Rectification !
B=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0& 3 \end{bmatrix}

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:01

Bonjour

tu poses A = \begin{pmatrix} x&y\\z&t\end{pmatrix}, tu calcules les deux produits, et tu résous le système qui dit que AB = BA ...

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:02

Bonjour, c'est ce que j'ai essayé en premier lieu pais je n'arrivais à rien..

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:02

etniopal @ 17-11-2017 à 14:23

Autre exemple A = B = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}

si je ne m'abuse, cette matrice est sa propre inverse, on n'a pas là un contre exemple très convaincant

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:03

Naya74 @ 17-11-2017 à 15:02

Bonjour, c'est ce que j'ai essayé en premier lieu pais je n'arrivais à rien..


tu plaisantes ? quel système as-tu obtenu ?

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:17

Alors sauf erreur je trouve
x+2z = x
3z = z
y+2t = 2x+3y
3t = 2z+3t

Je trouve
Z=0
Et après je n'ai pas d'autre conditions pour mes variables.

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:19

tu trouves z = 0, ok
que deviennent les 4 équations une fois que tu as reporté z=0 dedans ?

Posté par
veledare : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:37

bonjour,
on peut prévoir que  la matrice   identité     I_2 et  la matrice  B  appartiennent  à Kerf

Posté par
etniopalre : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:42

C'est A = B = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} ue je voulais mettre  !!

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:44

En remplaçant Z=0 je trouves
x=x
Z=0
t=t
y=-t +x

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:48

oui, tu as donc A = \begin{pmatrix}x&-t+x\\0&t\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0&-1\\0&1\end{pmatrix}

conclusion ? vois-tu une famille génératrice de ton noyau ?

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 17-11-17 à 15:56

Est ce que des matrices peuvent être génératrices ? Ou ce doit être des vecteurs ?

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 16:00

tu es dans un espace vectoriel, ses éléments peuvent être appelés vecteurs, même si ce sont des matrices, et pas des vecteurs de la géométrie de Grand-Papa ....

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 17-11-17 à 16:09

D'accord..
Une base serait dont
x\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} ?

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 16:10

tu es dans un espace de matrices carrées ....
la base doit être constituée d'éléments de l'espace....

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 17-11-17 à 16:19

Donc la base est juste les deux matrices que tu a mis plus haut ?

Posté par
veledare : Propriété de matrice 17-11-17 à 16:20

petite erreur de signe  il me semble    y=t-x

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 16:39

oui, c'est y = t-x, je n'avais pas fait attention

Posté par
lafol Moderateurre : Propriété de matrice 17-11-17 à 16:40

donc signes à modifier, mais sinon, l'écriture de 15h48, une fois rectifiée, donne une famille génératrice du noyau
reste à vérifier si elle est libre

Posté par
Naya74re : Propriété de matrice 19-11-17 à 11:48

Merci pour vos réponses, pardon de ne pas avoir répondu plus tôt je n'avais pas de réseau ce samedi.
Merci et bon dimanche !


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