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propriété sur les matrices inversibles
Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à me représenter la propriété qui dit qu'une matrice A est inversible ssi |A| différent de 0.
Je vois pourquoi A est inversible ssi 0 n'est pas valeur propre.
Je vous dis comment j'essaie de le voir
si |A-XI|= X(X-...)(X-...)^3 par exemple, 0 est valeur propre
|A-0I|= 0
Est-ce que c'est bien ça?
Bonjour.
Je pense que |A| signifie det(A).
On peut le voir aussi de la manière suivante : les colonnes de A sont les images des vecteurs de la base de départ : , donc :
: déterminant de n vecteurs. On sait que ce déterminant est nul ssi les colonnes sont liées, donc ssi A n'est pas de rang n, c'est-à-dire non inversible.
D'où : A inversible ssi det(A) non nul.
Ce qui précède vient de l'étude de l'image, mais on peut aussi passer par le noyau. Sachant que dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)), A sera inversible ssi Ker(A) = {0}, donc ssi A n'admet pas la valeur propre 0. D'où, l'autre manière de voir les choses.
Cordialement RR.
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