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Niveau Maths sup
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prouver la condition de perpendicularité de deux droites

Posté par
emilielvrs
15-08-18 à 16:08

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide pour un exercice d'entrainement avant d'entrer en prépa l'année prochaine.

Il y a une question pour laquelle on nous demande d'établir la condition de perpendicularité, c'est-à-dire :
"Dans un repère orthonormé, et pour deux droites D1  et D2  non «verticales», de pentes respectives p1 et p2, la condition D1⊥D2 est équivalente à p1p2 = −1"

Quelqu'un pourrait-il me donner des pistes pour prouver cette propriété ?
Merci d'avance

Posté par
SkyMtn
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 16:19

Salut, tu peux regarder le produit scalaire de deux vecteurs qui engendrent D1 et D2

Posté par
emilielvrs
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 16:46

Si les droites D1 et D2 sont perpendiculaires alors leurs vecteurs directeurs sont censés être orthogonaux, donc le produit scalaire est égal à 0 c'est bien ça ? Si oui je n'arrive pas à faire le lien avec p1p2=-1

Posté par
SkyMtn
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 16:56

Imaginons que u = (x,y) et v = (a,b) sont des vecteurs directeurs de D1 et D2 respectivement, que peux-tu dire des ratios y/x et b/a ?

Posté par
emilielvrs
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:00

y/x = -b/a ?

Posté par
SkyMtn
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:02

Faut bien que p1 et p2 interviennent non ? Ce sont des pentes, donc p1= ... et p2 = ...

Posté par
emilielvrs
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:05

p1= y/x et p2 = b/a

Du coup p1 = -1*p2

Posté par
SkyMtn
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:06

Tu es sûr ? Vérifies bien

Posté par
carpediem
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:07

salut

si y = ax + b est l'équation d'une droite "non verticale" alors un vecteur directeur est (1, a) ...

Posté par
alb12
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:19

salut,
"J'ai besoin d'aide pour un exercice d'entrainement avant d'entrer en prépa l'année prochaine. "
Quelle genre de prepa ?

Posté par
carpediem
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:22

c'est de plus un exercice de première  ... de collège il fut un temps ... que les moins de vin temps n'ont plus temps d'apprécier ... à courir derrière le portable ...

Posté par
emilielvrs
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:22

Je n'arrive pas à trouver mon erreur

Si on prend une application numérique, avec D1 qui a comme vecteur directeur (1;2) et D2 qui a comme vecteur directeur (1;-2), leurs pentes sont respectivement p1=2 et p2=-2 non ?


Je rentre en MPSI

Posté par
carpediem
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:24

carpediem @ 15-08-2018 à 17:07

salut

si y = ax + b est l'équation d'une droite "non verticale" alors un vecteur directeur est (1, a) ...
si y = a'x + b' est l'équation d'une droite "non verticale" alors un vecteur directeur est (1, a') ...

ces deux droites sont perpendiculaires <=> ...

Posté par
SkyMtn
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:25

Comme le remarque carpediem on peut choisir le vecteur directeur (1; pente).
Fais le produit scalaire de (1;p1) avec (1; p2) et c'est fini...

Posté par
emilielvrs
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:25

carpediem je n'ai malheureusement jamais rien vu de tel en première, pour avoi relu tous mes cours pendant ces vacances je n'ai jamais rencontré cette propriété

Posté par
mousse42
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:28

Bonjour,

Une piste : utilise  la trigo.

Posté par
emilielvrs
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:28

Si les vecteurs sont orthogonaux (1;p1).(1;p2) = 1 * p1p2=0
Donc p1p2 = -1


C'est vrai que maintenant ça parait évident
Merci à tous

Posté par
emilielvrs
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:29

1 + p1p2 je corrige

Posté par
mousse42
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:37

On aurait pu prendre p_1=\dfrac{\sin\alpha}{\cos \alpha} et déduire p_2 pour ensuite faire le produit p_1p_2

Posté par
emilielvrs
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 17:41

mousse42 je vais aussi essayer cette méthode, merci !

Posté par
carpediem
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 15-08-18 à 19:31

pourquoi s'emmerder avec des p1 et p2 quand on ne sait pas écrire des indices ... alors que a (très usuel) et a' (logiquement) suffisent ?

remarquer que : y = ax + b <=> ax - y + b = 0

or un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0 est (b, -a) ... ou son opposé (-b, a) bien sur ...

emilielvrs @ 15-08-2018 à 17:25

carpediem je n'ai malheureusement jamais rien vu de tel en première, pour avoi relu tous mes cours pendant ces vacances je n'ai jamais rencontré cette propriété
moi non plus "je ne l'ai pas vu !! je l'ai pensé et construit à partir du peu de savoir que j'avais en troisième ...

et la mathématique est exactement cela : inventer en même temps que l'on apprend, exercer sa réflexion pour construire de nouveaux savoirs ...

c'est ainsi que tout mathématicien avance (et ça s'applique évidemment à d'autres disciplines ...)

Posté par
Glapion Moderateur
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 16-08-18 à 12:05

Moi j'aime bien cette démonstration ultra simple :
prouver la condition de perpendicularité de deux droites

on a les deux droites y = mx et y=m'x et on les coupe par une droite verticale x=1
ça donne les points A et B.
et on écrit simplement Pythagore pour OAB avec OA² = 1+m² ; OB² = 1+m'² et AB²=(m-m')² ce qui donne
(m-m')² = 1 + m² + 1 + m'² -2mm' = 2 mm' = -1

Posté par
carpediem
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 16-08-18 à 12:46

compliqué ... et toutes les droites ne passent pas par l'origine ...

mais si on ne connait ni la notion de vecteur directeur ni le produit scalaire ça le fait ... modulo un changement de variable pour ramener l'origine au point d'intersection ... qu'il faut au préalable déterminer ...

si y = ax + b et y = a'x + b' sont les équations des droites et (p, q) leur point d'intersection alors on écrit

y - q = a(x - p)
y - q = a'(x - p)

et alors on peut appliquer ce que tu dis ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 16-08-18 à 12:58

Citation :
et toutes les droites ne passent pas par l'origine ..

on a toujours le droit de prendre un repère à l'intersection des deux droites.

Et ce qu'il y a de bien dans cette démonstration c'est que ça ne demande que Pythagore et les droites passant par l'origine de la forme y = ax donc niveau 3 ième environ.

Posté par
carpediem
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 16-08-18 à 13:40

bien sur qu'on a le droit !!! mais est-ce qu'ils peuvent ?

sinon j'apprécie tout à fait cette méthode ...

Posté par
lake
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 16-08-18 à 13:52

Bonjour,

A une certaine époque, tout le monde savait (en seconde!) qu'un vecteur directeur d'une droite de pente (ou de coefficient directeur) m dans un repère orthonormé était donné par \vec{u}(1,m)

Posté par
Poncargues
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 16-08-18 à 14:00

Si on sait pas ca, on peut s'apercevoir immédiatement que si la droite D est donnée par l'equation y=mx+p alors deux points (x1, y1) et (x2, y2) de la droite verifient (y1-y2)-m(x1-x2)=0, autrement les vecteurs portés par la droite sont orthogonaux à (-m, 1) qui est donc orthogonal à la droite, et deux droites sont orthogonales (dans le plan) ssi deux vecteurs orthgonnaux a chacune des droites respectives sont eux meme orthogonnaux, ce qui redonne la meme condition

Posté par
mousse42
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 16-08-18 à 14:28

n'empêche que le plus simple c'est de poser p_1:=\dfrac{\sin \alpha}{\cos\alpha}, et ceci ne demande quasi aucune connaissance.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 19-08-18 à 08:15

Bonjour,
La méthode de Glapion me plait bien.
Inutile d'y faire des changements de repère...
Niveau collège (enfin j'espère !) :
Avec D d'équation y = mx+p et D' d'équation y = m'x+p' ,
on peut définir les droites et ' d'équations y = mx et y = m'x .
On a alors D et ' D' ; donc D D' ' .

Pour l'histoire du vecteur directeur de coordonnées (1,m), si emilielvrs n'a "jamais rien vu de tel en première", c'est peut-être qu'elle l'avait vu en seconde
Pas compliqué à retrouver pour D d'équation y = mx+p :
Avec A(0,p) et B(1,m+p) deux points distincts simples de D ,
il suffit de calculer les coordonnées du vecteur \vec{AB} .

Posté par
carpediem
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 19-08-18 à 12:44

effectivement ...

d'autant plus que la condition de parallélisme de deux droites se (re)trouve aisément ...

voila qui est complet ...

Posté par
Razes
re : prouver la condition de perpendicularité de deux droites 19-08-18 à 13:08

Bonjour,
emilielvrs a compris comment faire, elle doit revoir et bien travailler sa géométrie.



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