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Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point

Posté par
Jeckhsin 20-01-13 à 10:08

Bonjour,

Je dois démontrer que la fonction \sqrt {1-x^2} n'est pas dérivable pour x = {-1;1}

Donc j'ai pensé qu'il fallait calculer le taux d'accroissement, d'abord pour x = 1, j'obtiens :

\\ f'(x) = \sqrt{\frac{-h}{h}} \\

Effectivement, en remplaçant h par 1, on obtient -1 et donc racine carré de -1 est impossible.
Cependant je cherche à prouver cela.. convenablement, je ne sais pas s'il est suffisant de dire ça ; dois-je mettre dans mes calculs des "quand h -> 0" etc. ? Je ne sais pas trop comment m'y prendre, merci d'avance de votre aide

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:18

Bonjour,

Il faut partir de cela :

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:19

Je n'ai pas appris à dériver les fonctions comme celà... qu'est-ce que x0 ?

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:22

x_0 est un point quelconque du domaine de définition.

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:23

J'ai appris à dériver avec t(h) = \frac{f(A+h)-f(A)}{h}, ensuite pour trouver la valeur de f'(x) de x, il faut tendre notre résultat vers 0, non?

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:23

Pour que f soit dérivable en un point x_0\inD_f, il faut que :

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}  existe et soit finie.

Dans ce cas, on pose f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} qui est le nombre dérivé de la fonction  f au point x_0.

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:25

On reprend :

Pour que f soit dérivable en un point x_0\in D_f, il faut que :

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}  existe et soit finie.

Dans ce cas, on pose f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} qui est le nombre dérivé de la fonction  f au point x_0.

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:26

Très bien, je vais essayer avec cette formule et je poste mon résultat dans quelques minutes

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:27

Dans ta formule, x n'a pas de valeur n'est-ce pas? On doit calculer en laissant x ?

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:28

Oui.

On a donc :


\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}}{x-x_0}

Il faut donc que tu "travailles" cette expression pour arriver à tes fins.

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:28

Si oui, je viens de trouver \frac{\sqrt{1-x^2}}{x-1}

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:29

Car tu vois bien que si tu remplaces x_0 par 1 ou -1 dans ton expression, tu as un truc indéterminé version \frac{0}{0}

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:30

Citation :
Si oui, je viens de trouver \frac{\sqrt{1-x^2}}{x-1}


Non, pas bon, regarde mon post de 10:28

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:30

Oui exact Merci

Pour écrire qu'il est donc impossible de dériver cette fonction pour x = -1 ou 1, comment dois-je l'expliquer ?

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:30

Regarde mon post de 10:28 et essaye de réfléchir en continue plus de 30 secondes ....

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:31

Mon résultat n'est pas juste? J'aurais du écrire \frac{\sqrt{x-x0^2}}{x-x0} ?

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:32

\red\text{REGARDE MON POST DE 10:28}

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:43

lim_{x\to%20x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to%20x_0}\frac{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}}{x-x_0}

Je ne vois pas comment simplifier cette expression, on doit calculer en laissant les x, du coup je me dis qu'il faut remplacer x0 par 1 et je trouvais donc mon résultat précédent.

Comment dois-je alors simplifier?

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:44

salut,
les élèves sont habitués à manipuler l'expression (f(a+h)-f(a))/h
ici (f(1+h)-f(1))/h=(sqrt(-h^2-2*h))/h=-sqrt(h+2)/sqrt(-h)
il faut étudier la limite de cette expression en 0 par valeurs inférieures.

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:46

Bonjour,

Tu as certainement raison, mais pourquoi en 0 alors qu'elle est dérivable en ce point.

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:52

f est dérivable en a ssi cette expression admet une limite finie en 0.

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 10:57

Je trouve bien ta fonction en développant mieux que je ne l'avais fait au début (oublié de faire l'identité remarquable), pour h->0 on trouve donc 0/0

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:03

Pour (f(-1+h)-f(-1))/h je trouve sqrt(2h-h^2)/h, donc pour h->0 on trouve 0/0, c'est comme ça que je dois démontrer?

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:11

Quelle que soit la méthode, la mienne ou celle de Leonegres, tu as une forme indéterminée du type 0/0.
Il faut simplifier par h pour lever cette indétermination.
(sqrt(-h^2+2*h))/h=sqrt(-1+2/h) dont la limite en 0 par val sup est ???

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:17

Je ne vois pas ce que tu veux dire par "limite en 0 par valeur sup", j'ai pas vu ça :x

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:21

mais si tu as étudié en classe la limite de 1/h en 0+ et en 0-
ici h tend vers 0+

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:26

J'écoute bien en classe, je me souviens pas avoir vu la limite de 1/H en 0+ et en 0-... que signifie que h tend vers 0+ ?

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:39

Oups désolé je te croyais en terminale !
pas vraiment du niveau de première cet exercice !
regarde le comportement de sqrt(-1+2/h) quand h se rapproche de 0,
en prenant h=0.1 puis 0.01 etc ...

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:42

Ah quand h tend vers 0 on voit que le résultat est de plus en plus élevé dans les positifs donc h tend vers 0+, j'ai compris

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:56

ok
en première on admet que la limite du taux d'accroissement de f entre -1 et -1+h est +inf
donc f n'est pas dérivable en -1.

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 11:57

D'accord, merci d'avoir pris du temps pour m'aider

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 12:16

donc si je peux me permettre, je fini sur ce sur quoi j'étais parti.

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{(\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2})(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2})}{(x-x_0)(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2})}=\lim_{x\to x_0}\frac{1-x^2-1+x_0^2}{(x-x_0)(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2})}

=\lim_{x\to x_0}-\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{(x-x_0)(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2})}=\lim_{x\to x_0}-\frac{x+x_0}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2}}=-\frac{2x_0}{2\sqrt{1-x_0^2}}=-\frac{x_0}{\sqrt{1-x_0^2}}

On voit bien que quand x_0\to -1

\lim_{x_0\to -1}-\frac{x_0}{\sqrt{1-x_0^2}}=+\infty

donc la limite n'est pas finie, donc f'(-1) n'existe pas, donc f n'est pas dérivable en -1.

Idem pour 1

Posté par
Jeckhsinre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 12:20

Ah je comprends maintenant comment j'aurais du continuer à calculer avec ta méthode, c'est plus clair
Je n'ai jamais utilisé cette méthode auparavant mais c'est bon de la connaître, merci

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 12:26

Tu remarqueras au passage que l'expression trouvée :

-\frac{x_0}{\sqrt{1-x_0^2}}

correspond à l'expression de ta dérivée (heureusement d'ailleurs):

f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 12:28

Si tu as un peu de temps, regarde ici :

Notions incomprises Dérivées ( avant de commencer les exos) ..

ça parait plus long que ça l'est, et je pense que ça te permettra de vraiment comprendre le sens de tout ça.

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 14:46

@Leonegres
il y a un pb dans ta démo
un lycéen ne peut pas pour étudier la dérivabilité en 1
calculer la dérivée sur ]-1;1[ (ou la limite du taux d'accroissement)
puis chercher la limite de cette dérivée en 1
Aucun th au lycée ne peut le justifier.
Cette méthode ne sera pas prise en compte au bac.
En revanche:
faire (f(x)-f(1))/(x-1)=sqrt(1-x^2)/(x-1) et chercher la limite en 1- sera validée.

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 15:04

Ah .... Ok.
ça fait longtemps que j'ai quitté le lycée.

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 15:38

c'était un temps où:
on admettait le th de Rolle
on démontrait le th des accroissements finis
on démontrait le th évoqué ci-dessus.
Mais le public (le consommateur ?) n'était pas celui d'aujourd'hui !

Posté par
Leonegresre : Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point 20-01-13 à 15:45

Certes.


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