Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Puissance de Matrice

Posté par
matheux14 03-02-22 à 20:44

Bonsoir,

Merci d'avance.

On considère la matrice :

\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}

1) Calculer (A +I_3)^3 où I_3 désigne la matrice unité de M3(R)

2) En déduire :

a) L'expression de An où n \in \N

b) Que A est inversible. Donner son inverse.

c) Une extension de An où n \in \Z

Pour 1) (A + I_3)^3 = A^3 + 3A^2I_3 +3AI_3²+I_3^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & -4 \end{bmatrix}

2-a) A^3 = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 3 \\ -3 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & -4 \end{bmatrix}

A^4 = \begin{bmatrix} 1 & -4 & -4 \\ 4 & -5 & -6 \\ -4 & 6 & 7 \end{bmatrix}

Mais je ne vois pas grand chose.. Comment faire pour répondre à la question en utilisant la question précédente ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 03-02-22 à 20:50

Bonsoir,
Ton résultat pour 1) est faux.
Commence par calculer B = A+I3.
C'est une matrice avec beaucoup de 0.
Puis calcule B3.

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 03-02-22 à 22:28

Je trouve \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 \end{bmatrix} = 0

Posté par
flightre : Puissance de Matrice 03-02-22 à 22:56

salut   A+I3  ne donne pas une matrice nulle

Posté par
flightre : Puissance de Matrice 03-02-22 à 22:58

mais (A+I3)3 donne bien une matrice nulle

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 03-02-22 à 23:01

Oui c'est le résultat de (A +I3)3 que je donnais.

Posté par
larrechre : Puissance de Matrice 04-02-22 à 09:53

Bonjour,

Pour 2a). Tu pourrais écrire que A=(A-I_3)+I_3

Cela va sans dire, mais ne pas oublier qu'on peut utiliser la formule du binôme parce que la matrice identité commute avec toute autre matrice.

Enfin, simplifier l'écriture I_ 3^k=I_3 et A I_3=A

Posté par
jean3re : Puissance de Matrice 04-02-22 à 11:31

A^{3}+3A^{2}+3A=-I \\ \\ Donc    A(-A^{2}-3A-3)=I

A est inversible et on a son inverse

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 04-02-22 à 11:48

2-a) Je dois calculer (A + I3)n ?

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 04-02-22 à 11:49

Je dois calculer ((A + I3 )-I3)n ?

Posté par
lakere : Puissance de Matrice 04-02-22 à 12:29

Bonjour,

Oui, avec la formule du binôme, tu n'auras que 3 termes puisque pour k\geq 3,  (A+I_3)^k= \text{ matrice nulle}

Posté par
larrechre : Puissance de Matrice 04-02-22 à 12:50

@matheux14

C'est ((A - I3 )+I3)n

Posté par
larrechre : Puissance de Matrice 04-02-22 à 12:52

Pardon, c'est moi qui déraille c'est bien ((A + I3 )-I3)n

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 04-02-22 à 16:26

[(A+I_3) -I_3]^n = A^n \\\\ A^n = (A+ I_3)^n + \sum^{n-1}_{k=1}\left(^{n}_{k} \right)(A+I_3)^n \left(-I_3 \right)^{n-k} \\\ A^n = \sum^{n-1}_{k=1}\left(^{n}_{k} \right)(A+I_3)^n \left(-I_3 \right)^{n-k}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 04-02-22 à 16:38

matheux14, il faut revoir la formule du binôme.
Et je te conseille de l'utiliser plutôt dans cet ordre :
( (-I3) + (A+I3) )n
Et d'écrire les 3 premiers termes, en supposant n 3.
Il faudra traiter à part n = 2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 04-02-22 à 16:39

@jean3,
Dommage d'avoir donné la réponse toute "cuite"

Posté par
larrechre : Puissance de Matrice 04-02-22 à 16:40

Elle est bizarre ta formule, fausse pour tout dire.

Posté par
larrechre : Puissance de Matrice 04-02-22 à 16:42

Trop tard, je n'avais pas vu.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 04-02-22 à 16:50

Je ne suis repassée qu'en "coup de vent".
Merci larrech, flight et lake d'avoir relayé.
Vous pouvez poursuivre

Posté par
lakere : Puissance de Matrice 04-02-22 à 17:07

Je ne suis que le relai du relai du relai

>>matheux14,

Toujours au 2)a),

Avec tout ce qui a été écrit, on peut exprimer A^n en fonction de I_3,A,A^2

Et pour une fois, l'expression de la matrice A^n en fonction de n n'est pas trop "infernale". Tu peux éventuellement la poster (avec un (-1)^n factorisé).

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 04-02-22 à 21:17

A^n = ((-I_3) + (A+I_3))^n = \sum^{n}_{k=0} \left(^{n}_{k} \right) (-I_3)^k (A +I_3)^{n-k} = \\ (-1)^n (I_3)^n +n(-1)^{n-1} * (I_3)^{n-1} (A + I_3) + \dots + (A+I_3)^n

A^n = (-1)^n (I_3)^n +n(-1)^{n-1} * (I_3)^{n-1} (A + I_3) + \dots + (A+I_3)^n

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 04-02-22 à 21:54

\text{2-b)} ~~ (A+I_3)^3 = A^3 + 3A²+3A +I_3 ^3 = 0

A^3 + 3A²+3A = - I_3 ^3 \iff -A^3 - 3A²-3A = I_3 \iff \begin{cases} A(-A² -3A -3I_3) = I_3 \\\ (-A² -3A -3I_3)A = I_3 \end{cases}

A^{-1} =-A² -3A -3I_3 = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\\ -1 & -1 & -2 \end{bmatrix}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 05-02-22 à 07:16

Bonjour,
OK pour A-1.
Pour An :

Citation :
écrire les 3 premiers termes, en supposant n 3.
Il faudra traiter à part n = 2.

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 05-02-22 à 16:54

Pour n = 2 ; A^n = A² = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 05-02-22 à 17:52

Citation :
A^n = (-1)^n (I_3)^n +n(-1)^{n-1} * (I_3)^{n-1} (A + I_3) + \dots + (A+I_3)^n
là, tu as écris les deux premiers termes de la somme.
Écris en plus le troisième, et explique pourquoi les suivants donnent la matrice nulle.

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 05-02-22 à 18:13

A^n = (-1)^n (I_3)^n +n(-1)^{n-1} * (I_3)^{n-1} (A + I_3) + \dfrac{n(n+1)}{2} (-1)^{n-2} (I_3)^{n-2}(A + I_3)^2 + \dots + (A+I_3)^n = (-1)^n (I_3)^n +n(-1)^{n-1} * (I_3)^{n-1} (A + I_3) + \dfrac{n(n+1)}{2} (-1)^{n-2} (I_3)^{n-2}(A + I_3)^2 car \forall n \ge 3~;~ (A+I_3)^n = 0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 05-02-22 à 18:22

Voilà
Vérifie le \left(^{n}_{2} \right).
Et à quoi est égal (I_{3})^{2022} à ton avis ?

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 05-02-22 à 18:45

Ben I3..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 05-02-22 à 18:51

Ben remplace toutes tes puissances de I3 par I3.

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 05-02-22 à 19:00

A^n =  (-1)^n I_3 +n(-1)^{n-1} I_3 (A + I_3) + \dfrac{n(n-1)}{2} (-1)^{n-2} (A + I_3)^2

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 05-02-22 à 19:01

matheux14 @ 05-02-2022 à 19:00

A^n =  (-1)^n I_3 +n(-1)^{n-1} (A + I_3) + \dfrac{n(n-1)}{2} (-1)^{n-2} (A + I_3)^2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 05-02-22 à 19:10

Joli non ?
Maintenant, tu peux suivre le conseil de lake :
Factoriser par (-1)n.
En remarquant que (-1)n-1 = -(-1)n
et (-1)n-2 = (-1)n.

Ensuite, tu pourras calculer la matrice (A+I3)2 et trouver une formule sous forme d'une matrice (3,3) avec (-1)n devant et des choses pas trop compliquées pour les coefficients de la matrice (3,3).

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 05-02-22 à 19:56

Ok et donc je fais çà à la question 2-c) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 05-02-22 à 20:39

On est encore dans la 2)a). Mais tu peux préférer t'arrêter à cette formule :
A^n = (-1)^n I_3 +n(-1)^{n-1} (A + I_3) + \dfrac{n(n-1)}{2} (-1)^{n-2} (A + I_3)^2
Il faut vérifier que le résultat reste bon pour n = 0, 1 et 2.

Posté par
lakere : Puissance de Matrice 06-02-22 à 14:14

Bonjour,

  

Citation :
A^n =  (-1)^n I_3 +n(-1)^{n-1} (A + I_3) + \dfrac{n(n-1)}{2} (-1)^{n-2} (A + I_3)^2


qui est tout à fait correct.
Mais en développant le carré et en regroupant, on obtient (matheux14, tu pourras vérifier) :

  A^n=(-1)^n\left[\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}\,I_3+n(n-2)\,A+\dfrac{n(n-1)}{2}\,A^2\right]

  où il est facile de :

Citation :
vérifier que le résultat reste bon pour n = 0, 1 et 2.


et relativement facile de :

Citation :
trouver une formule sous forme d'une matrice (3,3) avec (-1)n devant et des choses pas trop compliquées pour les coefficients de la matrice (3,3).



  

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 08-02-22 à 20:37

Ok merci

Et pour la dernière question ?

Posté par
larrechre : Puissance de Matrice 08-02-22 à 22:32

Pour la dernière question, il faut élever à la puissance n la matrice A^{-1}

Dans l'expression de cette matrice trouvée en 2b) débrouille-toi pour faire apparaître A+I_3

Ensuite fait comme pour le calcul de A^n

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 08-02-22 à 23:45

A^n =  (A + I_3)\left(n(-1)^{n-1} +\dfrac{n(n-1)}{2} (-1)^{n-2} (A + I_3)  \right)+(-1)^n I_3

Posté par
larrechre : Puissance de Matrice 08-02-22 à 23:49

Je crois que tu n'as pas bien lu ce que j'ai écrit. Il faut partir de

A^{-1}=...

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 09-02-22 à 00:07

Je dois donc vérifier si -A² - 3A -4I3 = quelque chose d'intéressant (0 sans doute..) et ensuite binôme de Newton sur (A + I3 - I3)n

Comme çà ?

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 09-02-22 à 00:09

matheux14 @ 09-02-2022 à 00:07

Je dois donc vérifier si -A² - 3A -3I3 = quelque chose d'intéressant (0 sans doute..) et ensuite binôme de Newton sur (A-1 + I3 - I3)n

Comme çà ?

Posté par
larrechre : Puissance de Matrice 09-02-22 à 01:35

Non,

A^{-1}=-A² -3A -3I_3= - (A^2+3(A+I_3))

Et là tu élèves à la puissance n. Toutes les puissances de A+I_3 sont nulles , sauf 3 d'entre elles.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de Matrice 09-02-22 à 08:27

Bonjour,
Je propose un autre cheminement pour 2)c).
L'énoncé parle d'une "extension de".
On peut conjecturer que la formule trouvée pour An est la même quand n est un entier négatif.
Pour n dans et n < 0, poser
B_n = (-1)^n I_3 +n(-1)^{n-1} (A + I_3) + (-1)^{n}\dfrac{n(n-1)}{2} (A + I_3)^2.
Il s'agit de démontrer que Bn = An.

La matrice An est l'inverse de la matrice Ap où p = -n.
L'entier p est dans ; on a donc
A^p = (-1)^p I_3 +p(-1)^{p-1} (A + I_3) + (-1)^{p}\dfrac{p(p-1)}{2} (A + I_3)^2.
Il suffit de vérifier que la matrice Bn est l'inverse de cette matrice en faisant leur produit.

Posté par
matheux14re : Puissance de Matrice 10-02-22 à 12:14

Ok, merci beaucoup


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !