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Niveau quatrième
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Puissances

Posté par
Lhelice
14-06-17 à 16:05

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire et je ne sais pas comment le résoudre. La question est "donner le dernier chiffre du nombre 3 puissance 2017.
Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
TheMathHatter
re : Puissances 14-06-17 à 16:07

Salut,

Sympa en 4e. Commence par calculer les premieres puissances de 3 et observe...

Posté par
Lhelice
re : Puissances 14-06-17 à 16:15

D'accord merci TheMathHatter je vais essayer.

Posté par
Lhelice
re : Puissances 14-06-17 à 16:49

J'ai remarquée que quand j'ai fait les premières puissances de 3 tous les résultats se terminait par 7 ou 1 ou 3 ou 9 mais comment je pourrais faire pour savoir par le quel de ces nombre se termine 3 puissance 2017?
Merci d'avance

Posté par
TheMathHatter
re : Puissances 14-06-17 à 17:23

C'est tres bien ! Regarde de plus pres, le dernier chiffre se repete regulierement avec un cycle de 4. Par exemple 3^4 et 3^8 se terminent par un 1. Vois-tu comment tu peux arriver a 3^2017 ?

Posté par
Taiga
re : Puissances 14-06-17 à 21:43

Salut
On reconnaît une série géométrique.
Quand 3^2k alors le résultat se termine soit par 1 soit  par 9
Quand 3^(2k+1) alors le résultat se termine soit par 3 soit  par 7

Qu'est que tu peux déjà en déduire?

Posté par
TheMathHatter
re : Puissances 14-06-17 à 21:47

Une suite geometrique en 4e ? Pourquoi pas le calcul des congruences ?

Posté par
Taiga
re : Puissances 14-06-17 à 21:48

Ah 4ème?
Sorry sorry

Posté par
Taiga
re : Puissances 14-06-17 à 21:50

Après c'est pour le moment l'explication la plus simple ...

Posté par
TheMathHatter
re : Puissances 14-06-17 à 21:53

Ah bon ? Tu ne trouves pas que reperer un cycle de longueur 4 puis de comprendre que faire la division euclidienne de 2017 par 4 donnera la solution ?

Posté par
TheMathHatter
re : Puissances 14-06-17 à 21:53

* est assez simple ?

Posté par
Taiga
re : Puissances 14-06-17 à 21:59

Posté par
cocolaricotte
re : Puissances 14-06-17 à 22:10

On reprend donc calmement niveau 4ème comme proposé

30 = 1
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
37 = 2 187

Donc le chiffre des unités est bien dans l'ordre : 1 ; 3 ; 9 ; 7

Il faut trouver maintenant dans quel cas la puissance de 3n se termine par 1 ou 3 ou 9 ou 7

Posté par
Taiga
re : Puissances 14-06-17 à 22:12

Lhelice Qu'est que tu as trouvé ?

Posté par
Lhelice
re : Puissances 15-06-17 à 17:11

Merci à toutes vos réponse j'ai finalement trouvé que le chiffre qui termine le résultat de 3^2017 est 3 grâce à une division euclidienne 2017 : 4. Voila, encore merci pour vos réponses.

Posté par
Taiga
re : Puissances 15-06-17 à 17:23

Salut,
Peut tu détailler ce que tu as fait stp?

Posté par
Lhelice
re : Puissances 15-06-17 à 20:19

Ce que j'ai fait:
Pour trouver le dernier chiffre du nombre 3^2017
Les premières puissances de 3:
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
3^6=729
3^7=2 187
3^8=6 561
...
Puis j'ai remarqué que la fin de tous les résultats que j'avais trouvé finissait par: 3,9,7,1.
Après j'ai fait une division euclidienne de 2017 par 4 cela donne 504 et il reste 1 donc apres on trouve que le résultat est 3 car on fait des paquets de 4 + 1 calcule de plus.
Je ne sais pas si j'ai été très claire dans les explications...

Posté par
malou Webmaster
re : Puissances 15-06-17 à 20:45

tu as été très claire !

Posté par
Lhelice
re : Puissances 15-06-17 à 20:55

Merci beaucoup !

Posté par
cocolaricotte
re : Puissances 15-06-17 à 21:47

Bravo pour ton raisonnement.



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