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Puissances d'une matrice carrée, formule du binôme

Posté par
maxou_n 08-11-07 à 09:26

Soient les matrices suivantes:
Bonjour,ce topic s'adresse uniquement qu'à Raymond

     2 1 0
M=   0 0 0
     0 0 2
     1 0 0
I=   0 1 0
     0 0 1

1 - On pose N=M-2I
Calculer les puissances de N, Nn pour tout entier naturel n.
2 - Rappeler la formule du binome, justifier son utilisation pour calculer Mn

3- Calculer M-1, puis M-n

4- Facultatif:Ecrire la matrice tM puis, en admettant les convergences, calculer l'exponentielle de la matrice Mt.

                                               0 1 0
Pour la 1ere question:, je trouve N=  0 0 0
                                               0 0 0

Voici les questions pour commencer:

Posté par
maxou_nPuissances d'une matrice carrée, formule du binôme 08-11-07 à 09:43

[/sup]Encore moi,
j'aimerai savoir si j'ai juste pour commencer l'exercice.
Pour calculer la N[sup]n, je ne comprends pas trop, enfin bref, j'aimerai avoir des explications

Pour la deuxieme question:

Mn=(2Id+N)n=2nId + n2n-1 + 2n-2Cn2 N2. Ce qui donne pour la matrice Mn:

2n pour la diagonale
n2n-1 pour la 1ere ligne deuxième colonne

Pour le reste je ne sais pas faire, mais j'aimerai qu'on m'explique car je fais cet exercice en m'aidant d'un livre d'algèbre.

Posté par
raymond CorrecteurPuissances d'une matrice carrée, formule du binôme 08-11-07 à 10:29

Bonjour maxou_n.

1°)

3$\textrm N = M-2I = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&-2&0\\0&0&0\end{pmatrix}

Cette matrice se décompose en blocs :

3$\textrm N = M-2I = \begin{pmatrix}U&O\\O'&0\end{pmatrix}

avec :

3$\textrm U = \begin{pmatrix}0&1\\0&-2\end{pmatrix}
3$\textrm O = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
3$\textrm O' = \begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}

Je pense que tu connais le produit par blocs, il s'effectue comme un produit matriciel classique.

On en déduit que :

3$\textrm N^n = \begin{pmatrix}U^n&O\\O'&0\end{pmatrix}

Or, une récurrence très simple à établir nous donne

3$\textrm U^n = \begin{pmatrix}0&(-2)^{n-1}\\0&(-2)^n\end{pmatrix}

Finalement :

3$\textrm\fbox{N^n = (-2)^{n-1}\begin{pmatrix}0&1&0\\0&-2&0\\0&0&0\end{pmatrix} = (-2)^{n-1}N}

2°)


Puisque M = 2I + N et que I commute avec toute matrice, on peut employer la formule du binôme de Newton.

3$\textrm M^n = (2I+N)^n = 2^nI + \Bigsum_{k=1}^n {n\choose k}2^{n-k}N^k

En remplaçant les puissances de N par le dernier résultat trouvé :

3$\textrm M^n = 2^nI + \Bigsum_{k=1}^n {n\choose k}2^{n-k}(-2)^{k-1}N

3$\textrm M^n = 2^nI - 2^{n-1}\Big[\Bigsum_{k=1}^n {n\choose k}(-1)^{k}\Big]N

Or, l'expression entre crochet est (1-1)n - 1 = - 1. Donc :

3$\fbox{\textrm M^n = 2^nI + 2^{n-1}N}

3°) M n'est pas inversible.

A plus RR.

Posté par
raymond CorrecteurPuissances d'une matrice carrée, formule du binôme 08-11-07 à 10:37

Je viens de me rendre compte que tu as fait une erreur d'énoncé et que je suis tombé dans le panneau. J'aurais dû m'en apercevoir en lisant la suite de l'énoncé.

A plus RR.

Posté par
maxou_nPuissances d'une matrice carrée, formule du binôme 08-11-07 à 11:01

Je suis désolé mais j'ai fait une erreur dans la matrice M

   2 1 0
M= 0 2 0
   0 0 2

Ce qui doit changer les résultats.

Posté par
raymond CorrecteurPuissances d'une matrice carrée, formule du binôme 08-11-07 à 11:31

Reprenons !!!!

1°) Je pense que :

3$\textrm M = \begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}

Les calculs sont d'ailleurs bien plus simples.

Alors : 3$\textrm N = M - 2I = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

On trouve très facilement N² = O

2°) Comme I commute avec toute matrice, om peut utiliser la formule du binôme :

3$\textrm\fbox{M^n = (2I + N)^n = 2^nI + n.2^{n-1}N}

3°) On peut s'amuser à calculer (2I + N)(2I - N). On trouve 4I. On en déduit que : M.(2I - N) = 4I

Comme tout commute :

3$\textrm\fbox{M^{-1} = \fra{1}{4}(2I - N)}

En utilisant la formule du binôme :

3$\textrm M^{-n} = \fra{1}{4^n}(2^nI - n.2^{n-1}N)

Que l'on peut écrire :

3$\textrm M^{-n} = 2^{-n}I + (-n).2^{-(n-1)}N

Cela prouve que :

3$\textrm\fbox{\forall n\in\mathbb{Z}, M^{n} = 2^{n}I + n.2^{n-1}N}

4°)

Par définition :

3$\textrm e^{tM} = \Bigsum_{n=0}^{+\infty}\fra{t^nM^n}{n!} = I + \Bigsum_{n=1}^{+\infty}\fra{t^nM^n}{n!}

3$\textrm e^{tM} = I + \Bigsum_{n=1}^{+\infty}\fra{t^n}{n!}(2^nI+n.2^{n-1}N)

3$\textrm e^{tM} = I + \Big[\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\fra{(2t)^n}{n!}\Big].I + t\Big[\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\fra{(2t)^{n-1}}{(n-1)!}\Big].N

3$\textrm e^{tM} = \Big[\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\fra{(2t)^n}{n!}\Big].I + t\Big[\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\fra{(2t)^{n}}{n!}\Big].N = e^{2t}I + t.e^{2t}N

Finalement :

3$\textrm\fbox{e^{tM} = e^{2t}\Big[I + t.N\Big]}

A plus RR.

Posté par
maxou_nPuissances d'une matrice carrée, formule du binôme 08-11-07 à 11:47

Merci RR

Je vais méditer sur le sujet, et faire des révisions parce que ce n'est pas gagné!!!
J'ai un exam début février, j'ai du boulot!!!
max

Posté par
raymond CorrecteurPuissances d'une matrice carrée, formule du binôme 08-11-07 à 12:06

L'erreur d'énoncé que tu as commise ne doit pas rester sans application.

Reprend le calcul de Mn avec ton énoncé erroné. En t'aidant de ma correction, cela te fera un autre exercice.

A plus RR.


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