Niveau maths spé

Puissances de matrices, décomposez

Posté par
Aerobi 17-07-11 à 06:22

Bonjour j'ai un petit problème de résolution d'un système dans mon exercice. Je vous remercie d'avance si vous pouviez me donner un coup de main ou plutôt un coup de clavier =)

Calculer les puissances entières positives de la matrice suivante $\large A=\begin{pmatrix}-1&a&a\\1&-1&0\\-1&0&-1\end{pmatrix}$ .

Pour cela j'ai raisonné par récurrence en ayant calculé $A^2$ et $A^3$ :

Montrons par récurrence que $\large \forall n\in \mathbb_{N}$ , $\large A^n=a_nA+b_nI_3+c_nB$ où $\large B=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&a&a\\0&-a&-a\end{pmatrix}$

Initialisation: $\large A^0=I_3$ où $\large a_0=0$ , $\large b_0=1$ et $\large c_0=0$

Hérédité: Supposons que pour $\large n\in \mathbb_{N}$ , $\large A^n=a_nA+b_nI_3+c_nB$

Donc $\large A^{n+1}=a_nA^2+b_nA+c_nBA$ . Or $\large A^2=-2A-I_3+B$ et $\large BA=-B$
Donc $\large A^{n+1}=(-2a_n+b_n)A-a_nI_3+(a_n-c_n)B=a_{n+1}A+b_{n+1}I_3+c_{n+1}B$
où $\large \left\lbrace\begin{array}l a_{n+1}=-2a_n+b_n \\ b_{n+1}=-a_n \\ c_{n+1}=a_n-c_n \end{array}$

La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.

On a donc $\large \left\lbrace\begin{array}l a_{n+1}=-2a_n+b_n \\ b_{n+1}=-a_n \\ c_{n+1}=a_n-c_n \end{array}=...$

Là je n'arrive pas à poursuivre... on a avec les deux première ligne $\large b_{n+1}-a_{n+1}=-(b_n-a_n)$ donc $\large b_n-a_n=(-1)^n(b_0-a_0)=(-1)^n$ mais avec les autres équations je n'arrive pas à faire de même pour obtenir les $c_n$ les $b_n$ et les $a_n$ pour terminer l'exercice...

Merci d'avance...

Posté par Puissances de matrices, décomposez 17-07-11 à 09:48

Bonjour,
Si la question est "montrer par récurrence.." il me semble que tu as répondu.
J'imagine que l'on te demande de déterminer les termes des suites $a_n;b_n$ et $c_n$
en écrivant $V_{n+1}= (a_{n+1};b_{n+1};c_{n+1})$
et $V_{n+1}=MV_n$
la matrice $M$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$
Les racines du polynôme caractéristique sont faciles à trouver, tu pourras calculer facilement les puissances de $M$ . $M^n=P^{-1}D^nP$
ce qui te donnera les expressions de $a_{n};b_{n};c_{n}$

Posté par re : Puissances de matrices, décomposez 17-07-11 à 09:58

Bonjour! Merci pour cette réponse
La question est simplement de calculer les puissances entières positives de la matrice A.
La récurrence est une méthode que je trouvais pas mal dans ce cas là en ayant calculé les première puissances de A "à la main" mais je n'ai pas aboutie. Dans ce cas là je ne peux pas poursuivre avec mes systèmes en retombant sur des caractérisation de suites géométriques?
Dans la méthode que vous me proposez je ne comprend pas comment en posant $V_n+1$ on sait que M est diagonalisable dans C? Est ce que cette méthode poursuit mon système remplace t-elle la récurrence?

Posté par Puissances de matrices, décomposez 17-07-11 à 10:14

re-bonjour,
En fait je n'ai pas cherché à voir si une relation de récurrence simple était visible, puisque tu semblais avoir des difficultés.
or c'est très simple tu peux émettre comme hypothèse de récurrence $a_n=(-1)^{n+1}n$
$b_n=-a_{n-1}=-((-1)^n(n-1))$ et de même $c_n=a_{n-1}-c_{n-1}=...$

Posté par re : Puissances de matrices, décomposez 17-07-11 à 10:35

Oui cela fonctionne bien merci! Ce résultat ne peut pas être retrouvé avec mon système de départ

Posté par re : Puissances de matrices, décomposez 17-07-11 à 11:08

désolé j'ai oublié le point d'interrogation "?"

Posté par Puissances de matrices, décomposez 17-07-11 à 11:44

Si bien sûr, tu calcules les premiers termes $a_1,a_2,a_3,a_4$ et la relation exprimant $a_{n+1}$ en fonction de n "saute aux yeux".
D'ailleurs pour étudier une suite quand il s'agit d'une récurrence, il faut toujours commencer par cette méthode pour voir, ensuite on essaye autre chose si rien n'est perceptible.

Posté par re : Puissances de matrices, décomposez 17-07-11 à 12:46

Bonjour.

On remarque que (A + I)³ = O (matrice nulle).

La division euclidienne de Xⁿ par (X + 1)³ donne :

Xⁿ = (X + 1)³.Q(X) + a_nX² + b_nX + c_n (1)

En remplaçant X par A :

Aⁿ = a_nA² + b_nA + c_nI

Donc, déjà, on a la forme générale de Aⁿ.

En dérivant deux fois la relation (1), puis en remplaçant X par -1, on trouve un système de trois équations à trois inconnues.

Je trouve (à confirmer) :

$a_n = (-1)^{n-2}\frac{n(n-1)}{2}$

$b_n = (-1)^{n-2}n(n-2)$

$c_n = (-1)^{n-2}\frac{(n-1)(n-2)}{2}$

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