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" Pythagore, Thalès et trigonométrie ". ( Simple vérification )
Bonjour, j'aimerais juste que vous vérifiez s'il n'y a pas de faute à l'exercice qui suit, merci ! :
" La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. (AB) est la hauteur issue de A dans le triangle AED.
On donne EF = 4cm ; FG = 3cm ; EG = 5cm ; AE = 7cm et DAB = 30°.
a. Démontrer que le triangle EFG est rectangle.
On sait que :
EF = 4cm
FG = 3cm
EG = 5cm
Or : Si les deux côtés au carré d'un triangle sont égales à l'hypoténuse au carré alors ce triangle est rectangle.
EG² | EF² + FG²
5² | 4² + 3²
25 | 16 + 9
25 | 25
D'après la réciproque du théorème de Pythagore :
Le triangle EFG est rectangle en F.
b. En déduire que (FG) est parallèle à (AB)
(AB) et (FG) sont perpendiculaires à (DF)
Or : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc : (FG) 
DF
c. Calculer BE et AB.
On sait que :
Les points B,E,F et A,E,G sont alignés entre eux.
EA/EG ; EB/EF ; AB/FG
7/5 ; EB/4 ; AB/3
|
7x4/5 = 5.6 | 7x3/5 = 4.2
|
D'après le théorème de Thalès :
BE mesure 5.6cm.
AB mesure 4.2cm.
d. Calculer DB.
D'après le triangle ABC rectangle en B :
tan A = DB/AB
tan 30 = DB/4.2
DB = 7
3/5 ( (7racine de3) divisé par 5)
e. Calculer l'aire du triangle AED à 0.01cm² près.
Aire du triangle : Base x hauteur / 2
DB x AB / 2
(( 73)/5 x 4.2 )/ 2
= 5.092229...
L'aire du triangle AED est de 5.1cm²
Voilà. Merci à la personne qui sera arrivée jusque là.
Bonjour,
a) C'est bon
b) C'est bon aussi.
Un théorème un tout petit peu plus général qui marche aussi ici :
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
c) Parfait.
Peut-être préciser aussi que les triangles ABE et GFE sont similaires.
d) Correction : D'après le triangle ABD rectangle en B.
Sinon, c'est bon.
e) Tu as calculé l'aire du triangle ADB...
De plus, l'aire du triangle ADB est de 5.09cm² (à 0.01cm² près)
Je te laisse rectifier pour calculer l'aire du triangle demandé 
Remarque aussi que les 4 triangles ABD, ABE, ADE et EFG sont similaires... donc leurs hauteurs et leurs cotés sont proportionnels.
a)
Donc la réciproque du théorème de Pythagore s'applique : si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, donc EFG est rectangle en F.
b)
Les points B, E et F sont alignés et on sait que (AB)
(BE). Donc (AB)(BF).
On sait que (FG)(EF). Donc (FG)(BF).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont entre elles, donc (FG)(AB).
c)
On sait que (FG)(AB) donc le théorème de Thalès s'applique :
Calcul de EB (avec le produit en croix) :
Calcul de BA (toujours avec le produit en croix) :
d)
Les points D, B et E étant alignés, (BE)(BD), donc ABD est un triangle rectangle en B.
Soit environ 2,4cm.
e)
Là je fais confiance en ma très chère amie calculatrice qui me dit 16,85cm²
Oh ! Oui, excusez moi, faute d'attention de ma part, j'ai voulu aller trop vite !
Finalement Gryfo me l'a fait.
Merci beaucoup à vous deux !
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