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Q.C.M. SUITE MERCi bcp

Posté par Milo manara (invité) 28-02-04 à 15:32

Bonjour, j'ai un qcm à faire et pour chaque question posée je
dois répondre en justifiant  et en donnant un argument satisfaiasant
tant sur le fond que sur la forme.
Mercide m'aider, c'est sur les suites.

1) Pour toutes suites réelles (Un) et (Vn) on a:

a/ Si (Un) et (Vn) convergent vers la même limite finie alors il existe
n_o appartenant à N , tel que pour tout n appartenant à N, n>n_o
implique Un=Vn.

Vrai, d'après compatibilité avec l'ordre. l=l'  i.e. un=vn

b/ Si lim Un =0 en +oo alors il existe n_o appartenant à N* tel que
pr tt n appartenant à N* n>n_o implique Un=1/n

Faux, car cela n'implique par obligatoirement Un=1/n , ms tte forme
ayant une fraction où le dénominateur s'exprime avec n et le
numérateur est réelle.

c/ Si (un+ Vn) converge alors (Un) et (Vn) convergent.
Vrai, car se sont des suites réelles donc juste d'apres la comptabilité
avec l'ordre.

d/ Si (Un*Vn) converge  alors (un) et (Vn) convergent.
vrai ex: un converge vers 2 et Vn vers 1  dapres comptabilité avec l'ordre
converge vers l*l' i.e. 2*1=2

e/ Si (UnVn) converge vers 0 alors (Un) converge vers 0 ou (Vn) converge.
Faux, nécessairement Un ou Vn doit converger vers  0 et l'autre vers
un réel.

f/ Si (Un) n'est pas minorée alors elle est majorée.
Faux, ex (-1)^n, n'est ni majorée ni minorée, cest le cas pr certaines
suites divergentes.

g/ si(Un) prend un nombre fini de valeurs alors elle est convergente.
Faux, la définition de converge c'est si à partir d'un certain
rang ts les termes de la suite sont contenus ds un certain intervalle,
elle est dite convergente. Elle peut donc prendre un nombre fini,
de valeurs sans pour autant qu'elle converge (du type (-1)^n)
ms je n'ai pas d'exemples..


h/Si (Un) est positive et strictement croissante, alors lim Un en +oo
et +oo
Vrai, à cause de la stricte monotonie.

i/ si (Un) est bornée alors (Un) converge.
Faux, d'apres le theoreme de convergence monotone, une suite converge
si elle est bornée et si elle est monotone. ex -1^n qui est bornée
(majorée par 1.5 par ex) ms qui diverge.

j/Si (Un) converge alors (Un) prend un nombre fini de valeurs.
Faux, il suffit que à partir d'un certain rang tous les termes soient
contenus ds un certain intervalle.
elle peut prendre indéfiniment des valeurs se rapprochant de la limite.

     voilà merci bcp pour votre aide.

Posté par
Victor
re : Q.C.M. SUITE MERCi bcp 28-02-04 à 15:48

Bonjour,

a/ C'est faux (et non pas vrai) (deux suites peuvent avoir la même
limite sans jamais être égales)
Un contre exemple (toujours très pratique pour justifier qu'un
énoncé est faux : Un=1/n et Vn=2/n.

b/ "Faux, car cela n'implique par obligatoirement Un=1/n , ms
tte forme ayant une fraction où le dénominateur s'exprime avec
n et le
numérateur est réelle. "
Mais pas uniquement Un=x/(x²+1) a pour limite 0.

c/ Si (un+ Vn) converge alors (Un) et (Vn) convergent.
Vrai, car se sont des suites réelles donc juste d'apres la comptabilité
avec l'ordre.
Contre exemple : Un=n et Vn=-n+2.

d/ Si (Un*Vn) converge alors (un) et (Vn) convergent.
FAUX : contre exemple : Un=n et Vn=1/n. Le produit converge mais Un ne
converge pas.

e/ Si (UnVn) converge vers 0 alors (Un) converge vers 0 ou (Vn) converge.

"Faux, nécessairement Un ou Vn doit converger vers 0 et l'autre vers
un réel. "
Cette justification permettrait de dire que c'est vrai.

f/ Si (Un) n'est pas minorée alors elle est majorée.
"Faux, ex (-1)^n, n'est ni majorée ni minorée, cest le cas pr certaines
suites divergentes."
Malheureusement, (-1)^n est majorée et minorée .
Mais n*(-1)^n n'est ni majorée, ni minorée.

g/ si(Un) prend un nombre fini de valeurs alors elle est convergente.

Faux, ta justification est juste et (-1)^n est un contre exemple.


h/Si (Un) est positive et strictement croissante, alors lim Un en +oo
et +oo
Et non c'est faux.
Par exemple 1-1/(n+1) est positive et croissante (à vérifier) mais sa
limite est 1.

i/ si (Un) est bornée alors (Un) converge.
Faux, . ex -1^n qui est bornée ms qui diverge.

j/Si (Un) converge alors (Un) prend un nombre fini de valeurs.
Faux, il suffit que à partir d'un certain rang tous les termes soient
contenus ds un certain intervalle.
elle peut prendre indéfiniment des valeurs se rapprochant de la limite.
Bien.

J'espère que mes indications te seront utiles.

@+

Posté par Milo Manara (invité)QCM SUITE (suite) 28-02-04 à 18:50

d'accord, je vous remercie bcp pr ces indications.
toutefois, je ne comprends pas vraiment prq pr la question d, mon exemple marche
alors que cest faux?? merci dem'expliquer.

Mon qcm, continue en réalité donc si vs pouviez continuer à m'aider
merci bcp!

Pour toute suite numérique (Un) on a:
1/ si pr tt n de N, 1 inf = Un inf = 2 alors (Un) est convergente.

Faux, en plus d'être bornée elle doit être strictement monotone (
theorême de convergence monotone).Par contre je n'ai pas d'exemples.

2/ Si pr tt n de N, Un-3 inf = 1/(n+1) alors (Un) converge vers 3.

Faux, pas obligatoirement. Exemple: Un=1 alors Un-3 est bien inf = à 1/n+1
or Un converge vers 1.

3/ Si (Un) est une suite géométrique de raison (-1/2) alors (Un) converge.
          Vrai     car une suite géométrique dont sa raison est comprise
entre -1 et 1 est convergente et de limite nulle.

4/ Si Un est une suite arithm de raison -1/2 alors elle converge.
Faux, car toute suite arithm de raison non nulle diverge.


5/ Si (Un) converge vers 0 alors (Un) est une suite croissante et négative
ou décroissante et positive.
Faux, car il existe des suites qui convergent mais en "sautillant" des
deux cotes de la limite étant ainsi négatif et positif... ms je n'ai
pas d'ex précis à donner qd cela converge vers 0.

Soit (Un)une suite géométrique de premier terme U0=1 et de raison q appartient
]0;+oo[ On note S_n=U0+u1+u2...+Un. Alors

6/ Sil existe n appartient N tel que Un>2000 alors q>1.
Faux, car si q>1 cela signifie, qu'elle est diverge or une suite peut
converger vers un nombre très grand. (Pas d'ex. malheureusement)

7/ Si q<1 alors il existe n appartenant à N tel que 0<Un<1/2
Faux, car elle peut avoir une raison <ou =-1est dans ce cas diverger donc
ne pas etre compris dans l'intervalle donné.

8/si q>1 alors lim Sn en +oo=+oo
Vrai par nature .

9/ Si lim Sn=2 en +oo, alors q=1/2.
Vrai. car Sn=1-q^n+1 / 1-q

10/ Si q=2 alors S4=15
FAUX Sn=1-2^5  / 1-2 = 31

Soit la suite réelle (Un) définie par U0 appartient ]1,+oo[ et la relation
de récurrence: pr tt n appartient N, Un+1= racine(3Un-2)

11/ (Un) est monotnone.
Faux, si Un=2 elle est alors stationnaire.

12/ (Un) est minorée par 1.
Vrai. (Je ne sais pas trop comment le justifier)

13/ Si U0 appartient ]1;2[ (Un) converge vers 1.
Faux entre 1 et 2 stationnaire
14/ Si U0 appartient ]1;2[ (Un) converge vers 2.
Faux entre 1 et 2 stationnaire

15/ Si U0 appartient ]2;+oo[ (Un) converge vers 2.
Vrai(?)

Soit (Un) la suite numérique définie par U0=0 et pr tt n appartenant N,
un+1= racine(6-Un). Alors
16/ La suite (Un) est croissante.
Faux de 2 à 3 elle est decroisste

17/ n appartientN
U_(2n) < ou = U_(2n+1)

Faux, pr le rang 2 qui est paire et est supérieur à un rang impair.
18/n appartientN
U_(2n) < ou = U_(2n+2)

Faux les rangs paires sont decroissts
19/ n appartientN
U_(2n-1) < ou = U_(2n+1)
vraie les rangs impairs sont croissts

20/n appartientN*
U_(2n+1) < ou = 2
Vraie car en réaliré la suite correspd à 2 suites adjactentes et pr le
rang 2 la suite paire =2 dc rang impair tjs inférieurs.

       vOilà, merci infiniment pour votre aide!



Posté par
Victor
re : Q.C.M. SUITE MERCi bcp 29-02-04 à 11:01

Bonjour,

Pour la question d de la première partie, ton exemple fonctionne mais
l'énoncé est faux car tu as déjà du voir qu'un exemple
ne suffit pas pour montrer qu'un énoncé est vrai par contre
un contre exemple suffit pour montrer qu'un énoncé est faux.

@+

Posté par
Victor
re : Q.C.M. SUITE MERCi bcp 29-02-04 à 11:38

Pour toute suite numérique (Un) on a:
1/ si pr tt n de N, 1 inf = Un inf = 2 alors (Un) est convergente.

Faux, contre exemple : 1,5+((-1)^n)/2 (toujours en utilisant (-1)^n qui sert dans beaucoup de situation)
mais attention, elle ne doit pas être strictement monotone pour converger, par exemple 1,5+((-1)^n)/2n est convergente, bornée entre 1 et 2 mais non monotone.

2/ Si pr tt n de N, Un-3 inf = 1/(n+1) alors (Un) converge vers 3.

Faux, pas obligatoirement. Exemple: Un=1 alors Un-3 est bien inf = à 1/n+1
or Un converge vers 1.
Bien (il faut en effet que Un-3 soit positif)

3/ Si (Un) est une suite géométrique de raison (-1/2) alors (Un) converge.
Vrai car une suite géométrique dont sa raison est comprise
entre -1 et 1 est convergente et de limite nulle.

4/ Si Un est une suite arithm de raison -1/2 alors elle converge.
Faux, car toute suite arithm de raison non nulle diverge.


5/ Si (Un) converge vers 0 alors (Un) est une suite croissante et négative
ou décroissante et positive.
Faux, car il existe des suites qui convergent mais en "sautillant" des
deux cotes de la limite étant ainsi négatif et positif...
par exemple ((-1)^n)/n

Soit (Un)une suite géométrique de premier terme U0=1 et de raison q appartient ]0;+oo[ On note S_n=U0+u1+u2...+Un. Alors

6/ S'il existe n appartient N tel que Un>2000 alors q>1.
C'est vrai car on nous indique que q>0 donc pour que Un atteigne 2000, il faut que q>1.

7/ Si q<1 alors il existe n appartenant à N tel que 0<Un<1/2
Vrai car 0<q<1 donc la suite converge vers 0.

8/si q>1 alors lim Sn en +oo=+oo
Vrai car Un tend vers +inf.

9/ Si lim Sn=2 en +oo, alors q=1/2.
Vrai. car lim Sn (si elle existe) est égale à 1/(1-q) et 1/(1-q)=2 si q=1/2

10/ Si q=2 alors S4=15
FAUX Sn=1-2^5 / 1-2 = 31

Soit la suite réelle (Un) définie par U0 appartient ]1,+oo[ et la relation
de récurrence: pr tt n appartient N, Un+1= racine(3Un-2)

11/ (Un) est monotnone.
Faux,(?) si U0=2 elle est alors stationnaire. (Un suite stationnaire peut être considérée comme monotone). Dans les autres cas, elle est croissante si U0<2 et décroissante si U0>2 (cf signe de Un+1-Un)

12/ (Un) est minorée par 1.
Vrai. Par récurrence si Un>=1 alors 3Un-2>=1 et donc Un+1>=1 car la fonction racine carrée est croissante.

Les limites possibles de Un sont 1 et 2 (solutions de x=V(3x-2))
13/ Si U0 appartient ]1;2[ (Un) converge vers 1.
Faux elle converge vers 2 car elle est croissante.
14/ Si U0 appartient ]1;2[ (Un) converge vers 2.
Vrai

15/ Si U0 appartient ]2;+oo[ (Un) converge vers 2.
Vrai, décroissante et minorée.

Soit (Un) la suite numérique définie par U0=0 et pr tt n appartenant N,
un+1= racine(6-Un). Alors
16/ La suite (Un) est croissante.
Faux U1>U0 et U2
17/ n appartientN
U_(2n) < ou = U_(2n+1)

Vrai par récurrence.
18/n appartientN
U_(2n) < ou = U_(2n+2)

Vrai la suite des termes paires est croissante (récurrence)
19/ n appartientN
U_(2n-1) < ou = U_(2n+1)
Faux les rangs impairs sont décroissants.

20/n appartientN*
U_(2n+1) < ou = 2
Faux les termes de rangs pairs sont <=2 et ceux de rangs impairs sont >=2.

@+

Posté par Milo Manara (invité)re : Q.C.M. SUITE MERCi bcp 29-02-04 à 14:14

MERCI bcp. Je comprends mieux ainsi,
merci encore pour votre aide.

Posté par Milo Manara (invité)re 01-03-04 à 14:05

Me revoilà!

j'aurai besoin de qq précisions en fait!
Pour la question
e/ Si (UnVn) converge vers 0 alors (Un) converge vers 0 ou (Vn) converge.
  On a dit:
Vrai  nécessairement Un ou Vn doit converger vers  0 et l'autre vers
un réel.  

N'est-ce pas embêtant si dans l'énoncé on a dit Un convers vers0 OU Vn
converge et non pas ET....??

Et pour la récurrence de la question 17 a t on bien:
U2n= racine (6-U2n) et pour U2n+1: racine(6-U_(2n+1) -1)??

Merci.

Posté par
Victor
re : Q.C.M. SUITE MERCi bcp 01-03-04 à 18:26

Bonsoir,
e/ Si (UnVn) converge vers 0 alors (Un) converge vers 0 ou (Vn) converge.

"N'est-ce pas embêtant si dans l'énoncé on a dit Un convers vers0 OU Vn
converge et non pas ET....??"
Au contraire, sinon la propriété serait fausse
Par exemple si Un=1/n² et Vn=n, le produit UnVn=1/n converge vers 0 mais
seule (Un) converge vers 0 et (Vn) diverge.

Et pour la récurrence de la question 17, on a:
U2n= racine (6-U(2n-1)) et pour U2n+1= racine(6-U(2n))

@+



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