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QCM bac (fonction valeur absolue et exp, nombres complexes)
Bonjour,
J'ai un devoir maison à faire sur un QCM type bac, j'ai toutes les réponses mais je dois justifier les proposition.
J'aimerai que vous jetiez à coup d'oeil à mes réponses, car j'ai l'impression que parfois elles ne sont pas assez complètes (voire fausses).
Il y a trois questions avec chacune 3 propositions :
"Question 1 :
Soit f la fonction définie sur I=[-2;2] par f(x)= |x|
1. f est continue sur I.
2. f est dérivable sur I.
3. f'(2)=1
4. f'(-1)=f'(1)"
J'ai répondu :
1. Vrai. On sait que f(x) est continue sur 
, or I est contenu dans , ainsi f(x) est continue sur I.
2. Faux. On sait que f(x) est dérivable sur *, or I=[-2;2], ainsi I contient 0. Donc f(x) n'est pas dérivale sur I.
3. Vrai. Le nombre dérivé de f(x) sur +* est égal à 1, donc 
x
+* f'(x)=1.
Ainsi f'(2)=1.
4. Faux. On sait que le nombre dérivé de f(x) sur * est égal à -1. Donc x-* f'(x)=-1. Ainsi f'(-1)=-1 et f'(1)=1, donc f'(-1)
f'(1).
"Question 2 :
1. L'ensemble des points M(z) tels que |z|=z est un cercle.
2. L'ensemble des points M(z) tels que |z+4|=1 est un cercle de rayon 1.
3. L'ensemble des points M(z) tels que |z-i|=|1-z| est une droite.
4. L'ensemble des points M(z) tels que arg(z+i)=
/2 [2] est un demi cercle."
J'ai répondu:
1. Faux. |z|=
x2+y2= OM = z
Ainsi l'ensemble des points M(z) tels que |z|=z est la droite OM.
2. Vrai. Ici, on note le point A qui a pour affixe -4. On peut donc écrire AM=1 car zm- za = z-(-4)
|MA|=|z+4|
AM = 1
On peut donc en déduire que l'ensemble des points M(z) tels que |z+4|=1 est le cercle de centre A et de rayon 1.
3. Vrai. Ici, on a les points A et B qui ont pour affixes respectives i et 1.
Alors z-i est l'affixe du vecteur AM et 1-z est l'affixe du vecteur MB. Ce qui entraîne :
vecteur AM = |z-i| et vecteur MB = |1-z|
Or l'enoncé nous dit |z-i|=|1-z|
d'où vecteur AM = vecteur MB
|z-i| = |1-z|
AM=MB
Ainsi l'ensemble des points M(z) tels que |z-i|=|1-z| est une droite.
4. Faux. Je n'ai pas trouvé de justification.
"Question 3 :
Soit la fonction f définie sur par : f(x) = ex - e-x. Alors :
1. f est croissante sur
2. x f'(x)=f(x)
3. L'équation f(x)=0 a une seule solution dans
4. La tangente à la courbe représentative dde f au point d'abscisse 0 a pour équation : y=2x"
J'ai répondu :
1. Vrai. On sait que f(x) = ex est croissante sur , ainsi que f(x) = -e-x. Donc la somme la deux est croissante sur .
2.Faux.
f(x) = ex-e-x
f'(x) = -e-x+ ex
Ainsi f(x)f'(x).
Je n'ai pas trouvé de justification pour les propositions 3 et 4. Néanmoins je sais qu'elles sont toutes les deux vraies.
De plus, il y a deux autres affirmations auxquelles je n'ai pas trouvé de justifications :
Le produit de deux fonctions croissantes sur un intervalle I, est croissant sur I.
Soit f une fonction continue et croissante sur et (un) définie par u0 et n
un+1 = f(un). (un) est croissante.
Pouvez vous m'aider pour rectifier les justifications qui ne vont pas et me donner des pistes pour celles auxquelles je n'ai pas trouvé de réponses.
Merci d'avance.
Bonjour Mayday,
1 C'est bon si on suppose connues les propriétés de la fonction "valeur absolue" sur
2.1 Il est vrai que c'est faux, mais ce que tu ajoutes n'a pas de sens ("le lieu de M est la droite OM") ; c'est en fait le demi axe des abscisses, du côté positif.
2.2 D'accord
2.3 C'est vrai mais tes explications n'ont pas grand sens (notamment "vecteur AM = |z-i|" - un vecteur ne peut pas être égal à une longueur) ; en fait la condition est MA=MB, dont tout le monde sait que ça correspond à la médiatrice de AB.
2.4 Arg(z+i) = /2 correspond à z+i = 
ei/2 = i ( réel positif) , soit z = (-1)i : demi-axe des ordonnées au-delà du point d'affixe -i
3.1 d'accord
3.2 il est vrai que c'est faux, mais alors il ne faut pas montrer que c'est vrai en se trompant dans le calcul de la dérivée (qui est en fait ex+e-x)
3.3 elle ne peut avoir qu'une solution parce qu'elle est strictement croissante sur ; et elle en a une parce que f(-1)=1/e-e<0 et f(1)=e-1/e>0 (et cette solution est 0).
3.4 c'est juste : le point d'abscisse 0 est sur la courbe (voir ci-dessus) et la dérivée f'(0) correctement calculée vaut 2.
Merci beaucoup Pierre_D pour ces informations supplémentaires.
Mais je ne comprends pas l'explication du 2.4 et celle du 3.3.
Pourquoi est-ce que dans le 2.4 "z+i=ei/2=i".
Et pourquoi dans le 3.3 :
"f(-1)=1/e-e<0 et f(1)=e-1/e>0 (et cette solution est 0)."
Un nombre complexe qui a pour argument /2 (+2k) s'écrit par définition de la forme trigo-exponentielle : ei/2, avec réel positif.
Tu peux vérifier le calcul de f(-1) et f(1) ; quel est le problème ?
Ok, c'est fait merci encore.
J'ai mieux réfléchit sur les 2 questions données en plus.
Je pense que pour la première il faut trouver un contre exemple:
x2*(-1/x), par exemple.
Et pour la deuxième, faire un raisonnement par récurrence.
Qu'en pensez vous ?
Très bonne idée pour la première.
Pour la seconde considère plutôt que un+1-un correspond à f(x)-x ...
Très bien. Merci.
Je n'arrive pas à calculer la dérivée de f'(0) pour la 4.4. Je ne vois pas par quoi je peux remplacer u(x) dans : f'(x)=u'(x)eu(x).
Pouvez vous me mettre sur une piste s'il vous plait.
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