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QCM Logarithme Népérien

Posté par
YasmineG 10-01-19 à 09:57

Bonjour, j'ai un QCM sur le Ln et je ne suis pas sûr de mes réponses, pouvez-vous me montrer mes erreurs pour que j'essaye de mieux comprendre ce fameux "Ln" :

1. On a : 2Ln(e^2)-Ln(3\sqrt{e}) = \frac{7}{2}-Ln(3) : FAUX[/b]

2Ln(e^2)-Ln(3\sqrt{e}) \\ \\ =2*2Ln(e) - \frac{1}{2}Ln(e) \\ \\ =4 -\frac{1}{2}*Ln(3)


2. La fonction f définie par f(x)= Ln (\frac{5-x}{(x-2)^2}) a pour ensemble de définition ]-\infty ;5[  : FAUX

\frac{5-x}{(x-2)^2}>0

5-x>0 donc x<5

(x-2)^2>0
x-2>0
x>2

Donc Df= ]2;5[

3) La fonction g est défini par g(x)=Ln(x^2-1) sur l'ensemble Dg. Pour tout x appartenant à Dg', g(x)=Ln(x+1)+Ln(x-1): VRAI


g(x) = ln(x^2-1) \\ g(x) = ln((x+1)(x-1)) \\ g(x)= ln(x+1)+ln(x-1)

4) L'équation Ln(2x^2-2) = Ln(3x) a deux solutions : VRAI

Ln(2x^2-2) = Ln(3x)

2x^2-2 = 3x \\ 2x^2- 3x-2 =0 \\ \\ \Delta =25 \\ x_{1} = -1/2 \\ x_{2} = 2

5) L'inéquation Ln(2X^2-2) \leq Ln (3x) a pour ensemble de solutions ]0;\exp (-4)[ U ]exp(-2);+\infty [


Celui la je n'y arrive pas.

Je procède comme pour l'équation précédente et je trouve : 2x^2-2-3x\leq 0.

Cependant je ne vois pas comment je pourrais passer à l'exponentielle, et donner le domaine de définition..

Sinon, ai-je bien procéder pour les autres questions ?

Merci d'avance

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 10:02

j'attaque par le 5) que j'ai sous les yeux, n'ai pas relu le reste
ton ensemble de définition est faux
je pense que tu devrais revoir les inéquations du second degré (vu où tu bloques dans ta résolution)
inéquation définie pour 2x²-2 > 0 et 3x > 0
2(x²-1) > 0 et 3x > 0
2(x-1)(x+1) > 0 et 3x > 0
....

Posté par
lionel52re : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 10:05

Nan nan tu y es pas.

2Ln(e^2)-Ln(3\sqrt{e}) = 4ln(e) - ln(3) - ln(\sqrt{e}} = 4 - ln(3) - 1/2ln(e) = 8/2 - ln(3) - 1/2 = 7/2 - ln(3)

Donc VRAI

Pour le 2e, ton Df est juste mais la justification est mauvaise
A quelle condition (5-x)/(x-2)^2 > 0

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 10:41

malou @ 10-01-2019 à 10:02

j'attaque par le 5) que j'ai sous les yeux, n'ai pas relu le reste
ton ensemble de définition est faux
je pense que tu devrais revoir les inéquations du second degré (vu où tu bloques dans ta résolution)
inéquation  définie pour 2x²-2 > 0 et 3x > 0
2(x²-1) > 0 et 3x > 0
2(x-1)(x+1) > 0 et 3x > 0
....


Pourquoi a-t-on le droit de dire que 2x²-2 > 0 et 3x > 0, alors que l'inéquation est  Ln(2X^2-2) \leq Ln (3x)
?


lionel52 @ 10-01-2019 à 10:05

Nan nan tu y es pas.

2Ln(e^2)-Ln(3\sqrt{e}) = 4ln(e) - ln(3) - ln(\sqrt{e}} = 4 - ln(3) - 1/2ln(e) = 8/2 - ln(3) - 1/2 = 7/2 - ln(3)

Donc VRAI.

Pour le 2e, ton Df est juste mais la justification est mauvaise
A quelle condition (5-x)/(x-2)^2 > 0


Pour le 1, -Ln(3\3\sqrt{e})) = -Ln(3) -Ln(3\sqrt{e}) et non 1/2 Ln(3) si j'ai bien compris ?

Pour le 2, pour que \frac{5-x}{(x-2)^2}>0 , on a le numérateur et le dénominateur qui doit être supérieur à 0.

Numérateur --> 5-x>0 donc x>5

Dénominateur --> (x-2)^2>0
x-2>0
x>2

On a donc Df= ]2;5[  non ? :/

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 12:05

pour ma part, 5)
tu dois absolument apprendre ton cours sur la fonction log....revoir ensemble de définition d'une telle fonction
sans ça, tu ne peux rien faire

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 12:12

Oui c'est bon j'ai réussi à comprendre que c'était "la manière" de résoudre les équations qui contiennent des logarithmes ..

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 12:12

Merci malou !!

Posté par
lionel52re : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 13:07

- Non A/B > 0 n'équivaut pas à A > 0 et B > 0 (voir règle des signes)
- X² > 0 n'équivaut pas à X > 0
- Ln(3Ve) = Ln(3) + Ln(Ve) = ln(3) + ln(e)/2 = ln(3) + 1/2

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 13:29

bon, YasmineG, si tu reprenais tout dans l'ordre, un par un, en utilisant les remarques qu'on t'a faites

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 15:25

Ln(a/b) = ln(a) - ln(b) donc je vais avoir ln(5-x) - ln ((x-2)^2)

Et comme on a fait avec

Citation :
malou
, je vais avoir, ln(5-x) > ln ((x-2)^2)

Inéquation définie par 5-x>0 et (x-2)^2>0
ou je vais trouver

5-x>0 donc x>5  et

lionel52 @ 10-01-2019 à 13:07

- Non A/B > 0 n'équivaut pas à A > 0 et B > 0 (voir règle des signes)
- X² > 0 n'équivaut pas à X > 0
- Ln(3Ve) = Ln(3) + Ln(Ve) = ln(3) + ln(e)/2 = ln(3) + 1/2


(x-2)^2>0
x-2>0
x>2

Comment résoudre ceci alors si ce n'est pas bon ? Parce que si x > 0 , x^2 > 0 aussi non ?

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 15:32

je ne suis pas d'accord avec ta manière de faire
tu dois chercher l'ensemble de définition avant toute transformation d'écriture
donc pour la 2
est défini pour \dfrac{5-x}{(x-2)^2}> 0 \text{ avec} (x-2)^2 \neq 0
à toi de le résoudre

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 15:56

aHHHHHH JAI COMPRIS !

Donc 5-x>0  et x<5

et

(x-2)^2 \neq 0 \\ Donc x\neq 2

Donc Df = ]-\infty ; 2 [ U ]2; 5[

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 16:03

oui !

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 16:26

Super !!
Donc la 3 et 4 sont aussi justes ?

et la 5, lorsque je procède comme tu me l'as dis:

\begin{array} {|c|cccccccccc|} x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty & \\ \\ {3x} & & - & & & 0 & & & + & & \\ \\ {2x^2-2} & & + & 0 & & - & & 0 & &+ & & \\ {f(x)} & & - & & +& &- & &+& & & \end{array}

Donc Df= ]-\infty ; -1[ U ]0;1[

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 16:27

Donc , la 5 est fausse ?

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 16:31

3)
quel est Dg ? sur Dg les deux log que tu utilises pour la réponse sont-ils bien définis ?
4) tu n'as pas parlé de l'ensemble de définition, donc à revoir

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 17:13

3.

g(x) = ln(x^2-1) \\ g(x) = ln((x+1)(x-1)) \\ g(x)= ln(x+1)+ln(x-1)

avec Dg'= R-{-1;1} car :

g'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}




4. Ln(2x^2-2) = Ln(3x)

2x^2-2 = 3x \\ \\ 2x^2- 3x-2 =0 \\ \\ \Delta =25 \\ \\ x_{1} = -1/2 \\ \\ x_{2} = 2 \\

S={-1/2 ; 2}

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 17:15

3) non
tu dois chercher les ensembles de définition et de dérivation avant toute transformation
je n'ai pas changé d'idée !
4) non plus, tu n'as pas cherché ton ensemble où cette équation a un sens

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 17:34

3) Alors pour g(x)= In (x^2-1) ,

x^2-1>0 \\ x^2>1 \\ x>1 \\ ou   x>-1  mais on garde que le x>1.

Donc, Dg ]1 ; +\infty[


g'(x)= \frac{1}{x^2-1}
Dg'= R-{-1;1}

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 17:36

Pour la 4 je ne vois pas ce que ça pourrait être autre que les deux solutions de l'équation .. :/

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 10-01-19 à 19:13

3) revois la résolution des inéquations du second degré
ce que tu racontes est faux
4) d'abord chercher où tes log existent !!

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 00:28

La 3 j'ai revu la résolution des inéquations et je trouve:

x^2-1>0 pour x_{1}=\frac{-3}{2} et x_{2}=\frac{1}{2}.

Donc le domaine de définition est Dg=]-\infty ; -3/2[  U  ]1/2 ; +\infty[

Ensuite pour trouver Dg', je calcule g'(x)= 2x* (\frac{1}{x^2-1}) et donc Dg'= R - {-3/2 ; 1/2}

Mais je ne comprends pas pourquoi je dois calculer les domaines de définitions ? Cela ne me permet pas de dire si g(x)= ln(x+1) + ln(x-1)..

Et donc,

g(x) = ln(x^2-1) \\ \\ g(x) = ln((x+1)(x-1)) \\ \\ g(x)= ln(x+1)+ln(x-1) \\

Je suis perdue

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 08:17

tu es perdue parce que tu ne fais pas ce qu'on te dit de faire et dans l'ordre où on te dit de le faire

Citation :
3) La fonction g est défini par g(x)=Ln(x^2-1) sur l'ensemble Dg. Pour tout x appartenant à Dg', g(x)=Ln(x+1)+Ln(x-1)

déjà je pense que tu as mal recopié et qu'il n'est aucunement question de la dérivée là dedans

3)
1re chose : où g est-elle définie ?
g est définie pour x²-1< 0 donc
résoudre x²-1 > 0
j'attends toujours

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 15:39

En effet, dans mon livre j'ai confondu la virgule avec l'apostrophe

malou @ 11-01-2019 à 08:17

tu es perdue parce que tu ne fais pas ce qu'on te dit de faire et dans l'ordre où on te dit de le faire
Citation :
3) La fonction g est défini par g(x)=Ln(x^2-1) sur l'ensemble Dg. Pour tout x appartenant à Dg', g(x)=Ln(x+1)+Ln(x-1)

déjà je pense que tu as mal recopié et qu'il n'est aucunement question de la dérivée là dedans

3)
1re chose : où g est-elle définie ?
g est définie pour x²-1< 0 donc
résoudre x²-1 > 0
j'attends toujours


Je ne comprends pas pourquoi g est définie pour x²-1< 0 ce n'est pas défini pour x²-1 > 0 ? Et pourquoi si g est définie pour x²-1< 0, je dois résoudre avec x²-1 > 0 ?

Donc si je dois résoudre x²-1> 0,

\Delta = 4 \\ \\ x_{1}=\frac{-3}{2} \\ x_{2}=\frac{1}{2}

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & -3/2 & & 1/2& & +\infty & \\ {signe} & & + & 0 & - & 0 & + & & \end{array}

Donc x²-1> 0 pour x \in  ]-\infty ; -3/2[  U  ]1/2 ; +\infty[

Et  x²-1< 0 pour  ]-3/2 ; 1/2[

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 15:46

parce que je ne me suis pas relue, excuse moi
tu as bien corrigé
x²-1 > 0 bien sûr

tes solutions sont fausses ! quelle horreur !
factorise directement (identité remarquable a²-b² )

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 15:55

Ah oui, j'ai fais une erreur de calcul j'ai supposé que b=1 alors que b=0 pour l'équation du second degré..

Donc lorsque je factorise je trouve comme solutions x1= 1 et x2=-1

J'ai honte ..

Donc g est définie pour   x \in  ]-\infty ; -1[  U  ]1 ; +\infty[  

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 15:57

oui exact cette fois
alors sur cet ensemble a-t-on le droit de dire que c'est égal à l'autre forme ?

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 16:00

Et la je peux faire le calcul:

g(x) = ln(x^2-1) \\ \\  \\ g(x) = ln((x+1)(x-1)) \\ \\  \\ g(x)= ln(x+1)+ln(x-1) \\ \\  

Avec   x \in  ]-\infty ; -1[  U  ]1 ; +\infty[  

Cependant, g(x) est bien égal à ln(x+1)+ln(x-1) mais pas pour tout x \in Dg car sinon on peut avoir une valeur négatif dans Ln.. ce qui est impossible. Donc c'est FAUX.

g(x)= ln(x+1)+ln(x-1) pour tout  x \in  ]1 ; +\infty[

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 16:03

donc la proposition est fausse
il suffit de le montrer pour une valeur par exemple -2
l'une est définie
pas l'autre
elles ne sont donc pas égales

commences-tu à comprendre ce qui se passe ?

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 16:07

Oui j'ai tout à fait compris.. Je ne voyais pas la question de cette forme au début, donc si j'ai bien compris cette fonction est définie sur un intervalle. Or, la fonction sous un autre forme peut ne pas être défini sur cette même intervalle..

Pour cela je vais donc remplacer par -2 et trouver ln(-1) pour la première branche, et donc cette fonction sous cette forme là n'est pas définie sur Dg..

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 16:08

oui, tu évites d'écrire ln(-1) j'ai les cheveux qui se dressent là !
tu écris que ln n'est pas défini pour -1
oui, le raisonnement est celui-là

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 16:27

D'accord, donc la prochaine fois Ln n'est pas défini pour x=-1.

Et il ne rest plus que la 4, où vous m'avez dis qu'il manquait l'ensemble de définition..

malou @ 10-01-2019 à 16:31

3)
quel est Dg ? sur Dg les deux log que tu utilises pour la réponse sont-ils bien définis ?
4) tu n'as pas parlé de l'ensemble de définition, donc à revoir


Pour trouver l'ensemble de définition, je sais que 2x^2 -2 > 0 et 3x > 0

Donc on a :

\begin{array} {|c|cccccccccc|} x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty & \\ {3x} & & & -& & 0 & & + & & & \\ {2x^2-2} & & + & 0 & & - & & 0 & + & & \\ {signe} & & - & & +& & -& 0 & + & & \\ \end{array}

Donc l'ensemble de définition est ]-1; 0[  U  ]1; +\infty[

Ensuite, je cherche les solutions:

Ln(2x^2-2) = Ln(3x) \\ \\ 2x^2-2 = 3x \\ \\ 2x^2- 3x-2 =0 \\ \\ \\ \\ \Delta =25 \\ \\ x_{1} = -1/2 \\ \\ x_{2} = 2 \\

Les solutions x1 et x2 appartiennent à l'ensemble de définition.

donc: VRAI, il y a bien deux solutions.

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 16:32

sauf que ton ensemble de définition est faux
le signe pour 3x est OK
le signe de x²-1 est OK
mais il n'y aucune raison de faire un tableau de signe pour le produit de ces deux expressions
ils doivent tous les deux rester positifs
donc tu dois avoir x dans ]-1; 0[ U ]1; +\infty[ en même temps que x > 0

et donc ton ensemble est ]1; +\infty[
OK ?
donc conclusion à revoir

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 16:34

Ah oui j'ai compris mon erreur ! Merci beaucoup Malou, vraiment merci pour tout

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 16:36

refais ces deux exos, au calme...tu verras, si tu as bien compris, cela ne va pas te prendre beaucoup de temps
une fois que c'est bien compris, les bases sur log et expo sont sûres, tu peux traiter tous les problèmes
bonne continuation à toi

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 17:07

Donc pour le 4) puisque mon ensemble est   ]1; +\infty[ , je n'ai qu'une solution ?

Oui, je vais suivre ton conseil et refaire ces deux exos qui m'ont posé beaucoup de problèmes .

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 17:08

oui, pour 4) une seule solution

Posté par
YasmineGre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 17:09

Ca m'a fait tellement du bien de mieux comprendre tous ça.. Merci encore Malou

Posté par
malou Webmasterre : QCM Logarithme Népérien 11-01-19 à 17:11

de rien, quand tu veux !


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