Bonjour

En effet, il y a un mélange dans tes histoires. Je suis parfaitement d'accord avec les descriptions algébriques d'espace vectoriel, ou espace affine sur un corps quelconque.

Ensuite, tu te places dans et tu utilises des propriétés très spécifiques... Remarque déjà que tes coordonnées sphériques ne sont même pas uniquement déterminées puisqu'il y a des angles... et de plus pose problème! Alors ce qui se rapproche le plus de ce que tu demandes (mais je ne connais pas ton niveau) est la notion de "coordonnées locales" pour une variété, mettons de classe au moins.

Bonjour,
UN systeme de coordonnées sur un espace topologique X, c'est un homoemorphisme d'un ouvert U de X sur R^n (ou un espace de coordonnées selon ta definition).
Choisir un point d'un espace affine te donne un homeomorphisme de ton espace affine sur R^n, tel que tu l'as decrit.
Sur la sphere tu as un systeme de coordonnées sphérique, il faut bien voir qu'il ne couvre pas toute la sphere, il n'existe que localement et qu'en fait il faut deux ouverts U pour avoir deux systemes de coordonnées qui couvrent toute la sphere.

Ok, merci déjà de vos réponses, ça m'apporte quelques éclairages. Donc selon vous deux ma formulation des 2 premiers paragraphes est mathématiquement OK ?
En fait je n'arrive pas à voir à quel moment intervient la topologie là dedans. Mon problème c'est que j'avais l'impression que de la même façon, que le choix de différentes bases change juste les coordonnées du vecteur (mais pas le vecteur en lui-même), le choix d'un système de coordonnées ne changeait pas le point en lui-même. Donc juste pour être sûr, que l'on soit en coordonnées cartésiennes 3D ou en coordonnées sphériques 3D, est-ce que, l'espace vectoriel, ses éléments (les vecteurs), l'espace affine et ses éléments (les points) sont les mêmes ? Est-ce que changer de systèmes de coordonnées, c'est un peu comme changer de base dans un espace vectoriel.

Une fois que ce point sera clarifié, je poserais d'autres questions pour être sûr de bien saisir la subtilité.

Bien sur, l'espace ne change pas.
Simplement les coordonnées sphériques ne sont pas des coordonnées au sens algébrique, puisqu'il n'y a ni unicité ni même définition partout!

D'accord, donc dans les deux cas, j'ai bien , avec les mêmes vecteurs, le même espace affine et les mêmes points. Ca m'aide déjà bien de savoir que le problème ne vient pas de là. Une fois que j'ai des points, mon problème est de leur associer autant de nombres qu'il y a de dimensions dans mon espace vectoriel: c'est à dire des coordonnées pour les repérer. Ce qui permet de faire ça, c'est ce qu'on appelle un système de coordonnées. Jusque là tout est encore OK j'imagine.

En coordonnées cartésiennes j'ai ma une base et un point O dans mon espace affine qui me permet d'associer un triplet à chaque point P. De la même manière en coordonnées sphériques j'ai un point O, une base/des bases qui me perme d'associer un triplet à chaque point P. Ma question c'est entre les deux qu'est-ce qui a changé ? L'espace de départ est le même (même espace affine à priori), l'espace d'arrivée est le même (triplet de nombres dans ), alors quel est le nom de l'objet mathématique qui change entre les deux cas ? (je suis désolé de ne pas être très clair, mais je n'ai pas le background mathématique suffisant sur les variétés/topologies et autres, c'est pour ça que rien qu'avoir le nom de ce qui change me permettrait de chercher de la documentation sur le sujet plus facilement).

Tout simplement il n'y a pas de base comme tu dis! Peux-tu l'écrire?

Du coup c'est quoi mathématiquement par rapport:
- à l'espace vectoriel sous-jacent
- à l'espace affine
- au système de coordonnées sphériques

Je crois que tu melanges deux choses. Dans un premier temps je te conseille de voir R^n comme un espace de points, (meme si c'est un espace vectoriel, mais R^n en tant qu'espace de coordonnées est un espace de "point").
Un systeme de coordonnées c'est juste une assignation, qui a chaque point de ton espace X (sur lequel tu vas mettre tes coordonnées) associe un n-uplet (x_1,...,x_n). En general il n'est pas possible de le faire globalement alors on le fait que localement.

Sur A^3, l'espace affine de dimension 3 tu peux mettre un systeme de coordonnée en choisissant un point et en ayant donc une application de R^3 sur A^3, donnée par ce que tu as decris. Tu identifies de fait les points de A^3 et les points de R^3. On va qualifier ca de coordonées cartésiennes.

Sur A^3 (enfin une partie de A^3 seulement) tu as aussi les coordonées sphériques. Qui consiste a choisir d'abord cette biejctions avec R^3, puis de la composer avec la bijection de R^3 sur lui meme (encore une fois en vrai seulement une partie de R^3) donnée par (r,t,f)->(rcos(t)sin(f), rcos(t) cos(f), r sin(t)).
Tu obtiens une bijection de A^3 (une partie) avec R^3, qui n'est pas la meme que celle donnée par les coordonées cartésiennes. C'est les coordonnées sphériques. Un point sur A^3 est repéré par la donnée de (r,t,f).

Les vecteurs e_x, e_y, e_z (ou e_r, e_t, e_f) ce sont des vecteurs "tangents" à ton espace et c'est encore autre chose.

Justement ce n'est rien d'algébrique. C'est l'image de la base canonique par une application de dans l'ensemble de toutes les bases... (très grossièrement parlant). Et on ne pourra pas te donner une explication simple sans topologie, homéomorphismes, ...

Ok, avec des vocabulaires différents, je commence à comprendre. La bijection de l'espace affine vers l'espace vectoriel sous-jacent c'est bien ce qu'on appelle justement le système de coordonnées c'est ça ? Ca permet donc d'associer à tout vecteur de , un point de et vis-versa. Donc les espaces de départ et d'arrivée sont les mêmes, mais quand on change le système de coordonnées, on change la manière d'associer les deux. Est-ce que cette façon de voir les choses est 100% correcte mathématiquement (Oui/Non et si non pourquoi) ?

Ensuite j'ai un gros problème avec la dernière phrase: on vient de dire justement que les espaces de départ et d'arrivée étaient les mêmes quel que soit le système de coodonnées. Du coup de quel espace s'agit-il dans la phrase: "vecteurs "tangents" à ton espace"? (à moins justement que ce soit la notion de "tangence" qui dépende du système de coordonnées).

Note: une fois que les questions du message précédent auront été élucidées, j'essayerai de reformuler ça plus rigoureusement en termes d'espace topologique et d'homéomorphisme...

On a pas dit que les espaces de depart et d'arrivée etaient necessairement toujours les memes. L'espace de départ X lui est toujours le meme, c'est l'espace sur lequel tu veux mettre tes coordonées.
Mais tes systemes de coordonées ne vont en general que d'un ouvert de X dans (un ouvert de) R^n.
Les vecteurs tangents seront X.
Maintenant il faut savoir que l'on peut prendre pour X, R^n lui meme.
Justement les systemes de coordonnées identifient (localement) les vecteurs tangents sur (un ouvert de X) et sur R^n.